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Grenzen bei Transformation in Polarkoordinaten?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Vielfachintegrale

Laura90 aktiv_icon

13:59 Uhr, 18.01.2011

Hallo!

Ich muss ein Mehrfachintegral nach Transformation auf Polarkoordinaten berechnen.

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y

Dann kann ich doch schreiben:

\int \int e^{- (r^{2} {cos}^{2} (φ) + r^{2} {sin}^{2} φ)} r

d φ

oder? Aber was mach ich mit den Grenzen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

14:49 Uhr, 18.01.2011

Hallo,
es gilt ja:

x = r \cdot \cos (φ)

y = r \cdot \sin (φ)

da der Kosinus und Sinus nur zwischen

- 1

und

1

liegen muss mit immer grösseren oder immer kleineren

x

oder

y

sich jeweils der Radius

r

dementsprechend verändern. Die Grenzen bleiben hier also gleich.

Laura90 aktiv_icon

14:53 Uhr, 18.01.2011

okay, aber ich hab auch eine aufgabe, in der sich die grenzen verändern.

\int_{0}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}

xy^2

d y d x

da werden dann die grenzen zu

\int_{0}^{a} \int_{0}^{\frac{π}{2}} . .

. aber wieso? wie kommt man auf das

\frac{π}{2}

Alx123 aktiv_icon

15:00 Uhr, 18.01.2011

Kennst du die Umrechnungsformeln zwischen dem Kartesichen und dem Polarsystem nicht?

Man kann hier natürlich auch sofort drauf kommen, das Integrationsgebiet ist ja hier:

B = {(x, y) ∣ 0 < x, y < a, x^{2} + y^{2} = a^{2}}

also ein viertel Kreisfläche, die im ersten Quadranten, dementsprechend gilt der Winkel auch von

0

bis

\frac{π}{2}

Laura90 aktiv_icon

15:02 Uhr, 18.01.2011

meinst du

x =

r⋅ cos(φ) und

y =

r⋅ sin(φ) aber was sagt mir das über die grenzen?

Alx123 aktiv_icon

15:07 Uhr, 18.01.2011

Ja, die meine ich, wie wär den jetzt der

t a n (φ)

definiert.

Laura90 aktiv_icon

15:10 Uhr, 18.01.2011

\frac{y}{x}

oder? aber irgendwie hilft mir das noch immer nicht auf die sprünge

Alx123 aktiv_icon

15:14 Uhr, 18.01.2011

Genau, also gilt für

φ

φ = \arctan (\frac{y}{x})

( je nachdem im was für einen Quadranten du dich befindest muss noch

π

oder

2 π

dazugerechnet werden, siehe Formmelsammlung)

Laura90 aktiv_icon

15:21 Uhr, 18.01.2011

sorry, aber ich steh da irgendwie aufm schlauch. wie hängt das denn jetzt mit den grenzen

\sqrt{a^{2} - x^{2}}

\frac{π}{2}

zusammen?

Alx123 aktiv_icon

15:27 Uhr, 18.01.2011

Du hast ja erst kartesische Koordinaten, der erste Schritt war überhaupt zuerkennen wie das Integrationsgebiet aussieht, also was für

x, y

überhaupt gilt, das habe ich oben geschrieben und jetzt werden einfach mit den Umrechnungsformeln die neuen Grenzen bestimmt. Es gilt ja:

0 \leq x, y \leq a

das heisst, für den Bruch gilt:

0 \leq \frac{y}{x} < \infty

und mit diesem Intervall gilt für den

\arctan

0 \leq \arctan (\frac{y}{x}) = φ < \frac{π}{2}

die Grenzen für

φ

sind also schon bestimmt und da ja noch gilt:

x^{2} + y^{2} = a^{2}

ist der Radius

r

gleich dem

a

. ( Das ist ja schon die Kreisgleichung ). Für

r

gilt also:

0 \leq r \leq a

Laura90 aktiv_icon

15:28 Uhr, 18.01.2011

könntest du diese umrechnung hier einmal konkrekt anschreiben? das wär super.

Laura90 aktiv_icon

15:44 Uhr, 18.01.2011

okay, vielen dank!

geteilt-durch-0 aktiv_icon

23:16 Uhr, 04.10.2023

naja, ist wohl schon lange her, falls sonst noch wer danach sucht...

Wer

f (x, y)

über die gesamte Ebene integriert:

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (x, y) d x d y

macht dies mittels Polarkoordinaten so:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} f (x (r, φ), y (r, φ)) r d φ d r

weil

S = {(x, y) \in R^{2}} \equiv {(x, y) \in R^{2} ∣ x^{2} + y^{2} \leq \infty^{*}}

*was eine Kreisscheibe mit unendlicher Ausdehnung ist

also:

φ \in [0, 2 π], r \in [0, \infty)

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