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Grenzen im Volumenintegral bestimmen?

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Mehrfachintegral, Rotation, Zylinderkoordinaten

gigachad aktiv_icon

21:06 Uhr, 14.03.2023

Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu Volumenintegralen.
Wie bestimmt man allgemein die Grenzen eines Mehrfachintegrals mit Zylinderkoordinaten?
Ich habe auch eine konkrete Aufgabe angehängt, würde aber gerne eine allgemeine Vorgehensweise finden.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

KartoffelKäfer aktiv_icon

22:04 Uhr, 14.03.2023

Hallo,

Der Integrand ist die Fläche

A (z)

des Kreises mit Radius

R_{F} (z) := R \sqrt{1 + 2 sin (\frac{π z}{h})},

also

A (z) := π R_{F} {(z)}^{2} = π {(R \sqrt{1 + 2 sin (\frac{π z}{h})})}^{2} = π R^{2} (1 + 2 sin (\frac{π z}{h})),

und dieser ist zu integrieren über 0 bis

h

(die Integrationsgrenzen).

Das Volumen des Fasses ist somit

V_{F} := \int_{0}^{h} A (z) d z = \int_{0}^{h} π R^{2} (1 + 2 sin (\frac{π z}{h})) d z

= π R^{2} (z - \frac{2 h}{π} cos (\frac{π z}{h})) |_{0}^{h}

= π R^{2} (h - \frac{2 h}{π} cos (π) + \frac{2 h}{π} cos (0))

= π R^{2} (h + \frac{4 h}{π}) = R^{2} h (π + 4)

gigachad aktiv_icon

22:21 Uhr, 14.03.2023

Also deine Lösung ist aufjedenfall richtig, wie ich vergleichen konnte. Aber du hast ja weder Zylinderkoordinaten noch Mehrfachintegrale verwendet. Wann erkennt man, dass man keine Mehrfachintegration brauchte, oder kann man die Aufgabe auch durch Mehrfachintegration lösen?Weil in dem Lösungsansatz den ich gesehen habe, wurde mit Zylinderkoordinaten gearbeitet...