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Grenzfunktion

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Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen

 
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anonymous

anonymous

13:37 Uhr, 23.01.2014

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Hi,

Sei fn eine Funktionenfolge fn:[0,1]→ℝ

fn(x):={
n⋅x, für 0≤x≤1n
2-n⋅x, für 1n<x≤2n
0, für 2n≤x≤1


Ist die Grenzfunktion

f(x)={
1, für x=0
0, sonst

richtig?

LG
Kim

PS: Wie schreibt man hier in dem Forum abschnittsweise definiert Funktionen hin? Ich würde es dann gleich editieren.
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

19:53 Uhr, 23.01.2014

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Hallo,

was ist denn fn(0)?

Gruß pwm
anonymous

anonymous

19:57 Uhr, 23.01.2014

Antworten
Hm,

fn(0)=0

?
anonymous

anonymous

20:01 Uhr, 23.01.2014

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Ist die Grenzfunktion vielleicht doch einfach nur

f(x)=0

?

Ich bin grade ziemlich verwirrt.
In dem Intervall von 0 bis 1n müsste die Funktion ja immer steiler werden, das Intervall aber zu gleichem Maße eingeschränkt. Müsste es dann nicht gegen 1 gehen?
Antwort
el holgazán

el holgazán aktiv_icon

20:09 Uhr, 23.01.2014

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Vergiss das Bild der Funktion. Der Graph kann hilfreich sein, wenn du dir überlegen willst, wie du ungefähr vorgehst; wenn es aber um die Details geht, benutze die Definitonen.

Wann gilt denn für fn,f:D→ℝ
limn→∞fn=f ?

Punktweise gilt das, wenn wir haben:

∀x0∈D:limn→∞fn(x0)=f(x0)

Wie du siehst, ändert sich hier x0 nicht; das heisst du fixierst einen Punkt x0 und lässt dann n laufen. Wenn du nun x0=0 setzt, musst du dir also überlegen, was fn(0) für alle n für einen Wert hat.

Wie du erkannt hast, gilt sicher fn(0)=0 für alle n, also MUSS die Grenzfuntkion f die Eigensschaft f(0)=0 haben.

Das kannst du dir nun für alle Punkte überlegen; einen Punkt fixieren und schauen, was mit fn(x0) für grosse n passiert.
anonymous

anonymous

21:32 Uhr, 23.01.2014

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Ahh..Ich denke ich habs verstanden. Ich versuche das mal konkret wiederzugeben.

Egal was für ein x0 ich wähle (sei es noch so klein). Es gehört bei einem hinreichend großen n zum Intervall (2n,1]
Das liegt an der Eigenschaft von ℝ ,sich immer näher einem bestimmen Wert anzunähern als ein vorgegebener Wert.
⇒ Für hinreichend große n gilt ∀x0∈[0,1]limn→∞fn(x0)=0

Also ist fn punktweise konvergent gegen die Grenzfunktion f(x)=0


Die punktweise Konvergenz formal richtig hinzuschreiben bereitet mir noch Probleme.
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