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Grenzfunktion, Funktionenfolge

Universität / Fachhochschule

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

22:22 Uhr, 04.05.2022

Hallo,

ich soll sagen, ob die Funktionenfolge

{(\frac{1}{n} \cdot x)}_{n = 1}^{\infty}

kovergiert. Und ich soll die Grenzfunktion bestimmen.

1)

Ob die Funktionsfolge kovergiert kann ich meines Wissens nur durch eine Zeichnung erkennen. Eine andere Methode kenne ich leider nicht. Gibt es eine andere Methode?
(Siehe Bild)

2)

Wie ich die Grenzfunktion bestimmen soll, keine Ahnung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:53 Uhr, 05.05.2022

Hallo,

punktweise Konvergenz eine Folge von Funktionen

f_{n} : D \to ℝ

bedeutet: Für jedes

x \in D

(Definitionsbereich) ist die reelle Folge

{(f_{n} (x))}_{n \in ℕ}

konvergent.

Bei Deinem Beispiel ist

f_{n} (x) = \frac{1}{n} \cdot x, x \in ℝ

(das hast Du nicht genau angegeben, vielleicht soll der Definitionsbereich anders sein. Eventuell Schreibfehler?). Das bedeutet: Du muss überprüfen, ob zum Beispiel

f_{n} (1) = \frac{1}{n}

f_{n} (5) = \frac{5}{n}

f_{n} (- 3) = - \frac{3}{n}

jeweils konvergente Folgen definieren Schließlich allgemein: Konvergiert für jedes

x \in ℝ

die Folge

(\frac{1}{n} \cdot x)

?

Gruß pwm

Christian- aktiv_icon

20:04 Uhr, 09.05.2022

Hallo, danke dir.

Ich habe es nun verstanden. Jedoch verstehe ich nun nicht, wie ich das mathematisch aufschreiben soll, ob die Funktionenfolge beim Endwert unendlich konvergiert.

Muss ich da

lim

verwenden oder was? Kannst du mir das mal zeigen?

ledum aktiv_icon

21:37 Uhr, 09.05.2022

Hallo
die Grenzfunktion ist die Nullfunktion und der Beweis für jedes

x

aus

ℝ

und jedes

ε > 0

gibt es ein

N

so dass |fn(x)-0|

< ε

für alle

n > N

allerdings hängt hier

N

von

x

ab, deshalb ist die Folge nicht gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion.
ser Beweis ist, dass man ein

N (x)

ausrechnet
ledum

Christian- aktiv_icon

23:43 Uhr, 09.05.2022

Hie leidum,

danke. Du sagst, die Grenzfunktion ist die Nullfolge. Wie sieht das mathematisch aus?

So, oder was:

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = lim_{n \to \infty} \frac{x}{n}

Ich wähle einen Intervall

[0,1],

welches für die x-Achse gültig sei soll.

Sei also das

x

fest, ich nehme mir irgend einen Wert für das

x

und bezeichne es als

x_{0}

. Sei also

x_{0} = 0

Dann heißt es ja:

lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{0}) = lim_{n \to \infty} \frac{x_{0}}{n}

Man kann es auch anders umschreiben:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot x_{0}

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot x_{0} = \frac{1}{\infty} \cdot x_{0}

= 0 \cdot x_{0} = 0

ist, so ergibt 0 Mal egal welches festgelegte x-Wert immer Null.

Man kann also sagen, dass diese Funktionenfolge für jedes

x

aus einer definierten Menge konvergiert.

Darf ich das so sagen bzw. machen?

OmegaPirat

10:36 Uhr, 10.05.2022

Das wonach du suchst ist "punktweise Konvergenz".

In diesem Wikipediaartikel steht alles wesentliche de.wikipedia.org/wiki/Punktweise_Konvergenz

Man kann es so machen, auch wenn die Notation etwas fragwürdig ist.

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