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Grenzgewinn

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Tags: Grenzgewinn, Sonstiges

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16:04 Uhr, 24.12.2009

Hallo an alle,

bin gerade im Prüfungsstress. Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Hoffe jemadn kann mir weiterhelfen!

G(x) = 600 $\sqrt{2 x + 1}$ - 200x -800

a) Berechnen Sie den Grenzgewinn für die Produktionsmenge 7,5 ME.
b) Berechnen Sie aus a) und b) näherungsweise, wie hoch der Gewinn bei der Produktionsmenge
7,6 ME ist.
c) Berechnen Sie den größtmöglichen Gewinn sowie den größtmöglichen Verlust.
Legen Sie dabei D = [0; 24] als Definitionsbereich von G(x) zugrunde.
Begründen Sie beim größtmöglichen Gewinn, warum es sich tatsächlich um das globale
Maximum handelt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:17 Uhr, 24.12.2009

"b) Berechnen Sie aus a) und b) näherungsweise,..."

ist das eine sogenannte "Rekursionsaufgabe" ?

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16:39 Uhr, 24.12.2009

Nein das sind eigentlich die Teilaufgaben b), c) und d). a) habe ich schon selber gemacht.

a) Wie groß ist der Gewinn, wenn von dem Produkt 7,5 ME hergestellt werden?

Was ich nicht bei b) verstehe ist, dass mit dem Wurzelzeichen. Ich muss ableiten und mit dem Wurzelzeichen habe ich meine Probleme. Ich weiß das ich es mit 1/2 wegkriege, aber irgendwie komme ich da nicht weiter.

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17:17 Uhr, 24.12.2009

Chaos!

Lies mal Dein Posting so wie jemand, der die aufgabe zum ersten mal liest!

sicherlich kann ich mir schon denken, worum es Dir geht, aber sei doch so gut und formuliere etwas unmissverständlicher.

wie soll ich in Teil aufgabe b) einen Wert berücksichtigen, der in ebendieser Aufgabe zu errechnen sein soll?

Klar, weil a) ja jetzt b ist, da du das gelöst hast und deswegen c das ist was vorher a war und die wurzel in c jetzt bei d ist ...

*zensiert*

Wenn man dann in einem Megathread die zwanzigste Antwort gegeben hat kommt dann "ups, sorry, das z sollte eigentlich ein y sein und die Ableitung ein Quadrat, aber sonst ist eigentlich alles fast so wie vorher ..."

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17:58 Uhr, 24.12.2009

So das ist die komplette Aufgabe und diesmal stimmt alles.

Die Funktion G(x) = 60 $\sqrt{2 x + 1}$ - 200x -800 beschreibt den Gewinn G (in GE), der bei
Herstellung von x ME eines Produktes zu erzielen ist.
a) Wie groß ist der Gewinn, wenn von dem Produkt 7,5 ME hergestellt werden?
b) Berechnen Sie den Grenzgewinn für die Produktionsmenge 7,5 ME.
c) Berechnen Sie aus a) und b) näherungsweise, wie hoch der Gewinn bei der Produktionsmenge
7,6 ME ist.
d) Berechnen Sie den größtmöglichen Gewinn sowie den größtmöglichen Verlust.
Legen Sie dabei D = [0; 24] als Definitionsbereich von G(x) zugrunde.
Begründen Sie beim größtmöglichen Gewinn, warum es sich tatsächlich um das globale
Maximum handelt.

a) habe ich schon gelöst, aber bei b) komme ich nicht weiter! Hoffe das mir jemand jetzt weiterhelfen kann.

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19:54 Uhr, 24.12.2009

G (x) = 60 \sqrt{2 x + 1} - 200 x - 800

Der Grenzgewinn gibt den zu erwartenden Gewinn an, welcher für eine weitere produzierte Einheit eines Produktes zu erwarten ist.
Der Grenzgewinn ergibt sich dabei aus der Ableitung der Gewinnfunktion:
G(x) = Umsatzfunktion–Kostenfunktion

G (x) = 60 (2 x + 1)^{½} - 200 x - 800

Bei der Ableitung von gebrochenrationalen Polynomen kann die gleiche Formel eingesetzt werden, wie sie aus der Ableitung positiver ganzzahliger Polynome bekannt ist:

f = x^{n}

f ʹ = n x^{n - 1}

für

n = ½ :

f ʹ = ½ x^{½ - 1}

f ʹ = ½ x^{- ½}

negativer Exponent bedeutet Kehrwert, also kann man auch so schreiben:

f ʹ = ½ \cdot \frac{1}{x^{½}}

x^{½} = \sqrt{x} :

f ʹ = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

NEIN - noch nicht aufatmen und freuen!
Das war nocht nichtmal die halbe Miete ... wir brauchen noch die Kettenregel bei unserer Aufgabe - hast du ne Idee, wo ,wie und warum?

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21:36 Uhr, 24.12.2009

Ja ich weiß warum wir Kettenregel brauchen. Für die 1. Ableitung brauchen wir sie. Das 1/2 wird mit den 600 multipliziert und die Hochzahl um 1 subtrahiert. Dann noch "mal" die innere Ableitung. Und zwar so:

$600 \times 1 / 2 {(2 x + 1)}^{- 1 / 2} \times 2 - 200$

Mein Problem ist das mit "Hoch" -1/2! Ich muss nämlich die Rechnung ohne Taschenreschner lösen. Wenn mir da jemand helfen könnte!

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21:45 Uhr, 24.12.2009

Mein Versuch lautet:

$600_{\sqrt{x + 1} - 200}^{2}$

also "2 durch Wurzel x+1"

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22:03 Uhr, 24.12.2009

G ʹ = 600 \cdot \frac{1}{2} (2 x + 1)^{- ½} \cdot 2 - 200

So sieht das Ding erstmal ordentlich aus .
Deine weitere Verwurschtelung ist chaotisch und undurchschaubar - vergiss es erst mal und schau her:

G ʹ = 600 \cdot (2 x + 1)^{- ½} - 200

G ʹ = 600 \cdot \frac{1}{(2 x + 1)^{½}} - 200

G ʹ = 600 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} - 200

jetzt schaun wir doch mal, welcher Wert überhaupt eingesetzt werden soll ...

... " b) Berechnen Sie den Grenzgewinn für die Produktionsmenge 7,5 ME."

oooooch - das ist ja gemein! Sooo ein böser Wert - puuuhhhh....

G ʹ = 600 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 7, 5 + 1}} - 200

G ʹ = 600 \cdot \frac{1}{\sqrt{15 + 1}} - 200

G ʹ = 600 \cdot \frac{1}{\sqrt{16}} - 200

na - jetzt hast du dir völlig unnötig die Hosen vollgemacht !

Das geht nämlich total locker OHNE TR!

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22:04 Uhr, 24.12.2009

Ich hab die Gleichung gelöst!

$\overset{600}{\sqrt{2 x + 1}} - 200$

Danke nochmal, auch wenn die Antworten lange gedauert haben.

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22:07 Uhr, 24.12.2009

In deinem ersten Post hast du 600 und dann - bei dem in dem alles richtig ist, steht 60.

Was wollen wir verwenden?!

Viel Spass dann noch bei der c)

bin ja ganz gespannt, wie Du das hinbekommst ...

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22:29 Uhr, 24.12.2009

Es war schon 600. Beim 2. muss ich mich beim "Mathe editor" vertippt haben.

Bei c) bei muss ich G(7,5) mit G´(7,5) addieren.

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22:54 Uhr, 24.12.2009

"Bei c) bei muss ich G(7,5) mit G´(7,5) addieren."

Was hast du da für Werte bekommen?

(und addieren spielt da schon auch mit - aber so würde ich das mal nicht nennen ...)

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23:35 Uhr, 24.12.2009

inzwischen schau ich schon mal nach den Extremstellen:

G ʹ = 0

0 = 600 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} - 200

200 = 600 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}

1 = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}

\sqrt{2 x + 1} = 3

2 x + 1 = 9

2 x = 8

x = 4

Die Gewinnfunktion besitzt nur eine einzige Extremstelle.
Ob es sich um ein Maximum oder Minimum (oder noch was schlimmeres) handelt, finden wir so raus:

G ʹ = 600 \cdot (2 x + 1)^{- ½} - 200

G ʺ = 600 \cdot - ½ \cdot (2 x + 1)^{- \frac{3}{2}} \cdot 2

G ʺ = 600 \cdot - (2 x + 1)^{- \frac{3}{2}}

Wert einsetzen:

x = 4

G ʺ = 600 \cdot - (2 \cdot 4 + 1)^{- \frac{3}{2}}

*schlabberzitterbibberschlotter*
(schon wieder kein TR erlaubt)

G ʺ = 600 \cdot - (8 + 1)^{- \frac{3}{2}}

G ʺ = 600 \cdot - (9)^{- \frac{3}{2}}

G ʺ = 600 \cdot - \frac{1}{{\sqrt{9}}^{3}}

G ʺ = 600 \cdot - \frac{1}{3^{3}}

G ʺ = - \frac{200}{9}

Die zweite Ableitung ist an der Extremstelle negativ, also liegt an dieser Stelle ein Maximum.
Da es das einzige Maximum dieser Funktion ist, ist es ein globales.

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13:40 Uhr, 25.12.2009

Ich denke mal weil G(7,6) ungefähr (7,5) ist, würde ich es so machen:

G(7,5)x0,1

und dann kommt 90 raus.

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18:57 Uhr, 25.12.2009

... was freilich grottefalsch ist ...

a) Wie groß ist der Gewinn, wenn von dem Produkt 7,5 ME hergestellt werden?

b) Berechnen Sie den Grenzgewinn für die Produktionsmenge 7,5 ME.

c) Berechnen Sie aus a) und b) näherungsweise, wie hoch der Gewinn bei der Produktionsmenge 7,6 ME ist.

hast Du denn a) und b) schon mit richtigen Ergebnissen?

und bei c) muss man sich was einfallen lassen, wo man beide Lösungen braucht - steht ja extra so in der Aufgabe!

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19:19 Uhr, 25.12.2009

a) G(7, 5) = 100 GE

b) G´(7, 5) = -50 GE

Ich weiß wirklich nicht, wie ich weiter kommen soll. Vor allem dingen verstehe ich nicht wieso ich a) und b) brauche. Tut mir leid aber ich bin kein Mathe Genie, von alleine werde ich wahrscheinlich nicht draufkommen.

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19:41 Uhr, 25.12.2009

a) und b) habe ich auch diese Werte.

Es geht darum, von dem gegebenen Punkt aus ein Annäherung zu machen, die darauf beruht, dass man nicht den veränderten Wert (7,6) in die Gewinnfunktion direkt reinsetzt (das geht in der Praxis nämlich nicht immer so einfach [kein TR z.B.]), sondern indem man von einem bekannten Punkt ausgeht, dessen Grenzverhalten man beschreiben kann.

Die Näherungsfunktion ist eine Geradenfunktionsgleichung, deren Steigung sich aus dem Wert der Ableitung in dem Punkt ergibt und den Koordinaten dieses Punktes.
(siehe wikipedia : Punkt-Steigungs-Formel)

Wenn man diese Funktion ermittelt hat, kann man hinreichend kleine Veränderungen damit abschätzen.

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19:55 Uhr, 25.12.2009

G(7, 5) + G´(7, 5) · dx

Muss man bei näherungsweise Berechnungen diese Formel benutzen?

$y = m x + b$ Wobei b G(x) und x=G`ist. Stimmt das?

Hab mal Informationen aus meinen Unterlagen und dem Internet gesammelt und bin darauf gekommen. Ist wahrscheinlich richtig, denn wir hatten mal so ne ähnliche Aufgabe.

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20:20 Uhr, 25.12.2009

y = m x + b

Wobei b G(x) und x=G`ist. Stimmt das?
Leider nein - wieder muss ein Fünferl ins Schweinderl ...

m ist die Steigung!

m = G ʹ (x_{0})

Das hier hättest du lesen sollen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Punktsteigungsformel

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20:35 Uhr, 25.12.2009

Ok. Vielen Dank für deine Hilfe. Leider habe ich noch zu einer anderen Aufgabe noch eine Frage.

Die Funktion $x (p) = 10 + {8 e}^{2 - (p / 10)}$ beschreibe die Nachfrage x (in ME) nach einem Produkt, wenn
dieses zum Preis p (in GE/ME) angeboten wird.
Wie groß ist der Umsatz bei stetiger Preissenkung von 20 GE/ME auf 10 GE/ME?

Meine bisherigen Versuche sind gescheitert. Ich habe einmal die 20 eingesetzt und 18 rausbekommen. Danach habe die 10 eingesetzt und als Ergebnis "10+8e" rausbekommen.

Wenn du mir hier noch helfen könntest...

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20:45 Uhr, 25.12.2009

Neue Aufgabe bitte in neuem Thread reinstellen. Der hier ist schon lang genug!

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21:18 Uhr, 25.12.2009

OK.

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