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Grenzrate der Substition (MRS,GRS)
Universität / Fachhochschule
Tags: Grenznutzen, Grenzrate der Substitution
 
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Hallo! Bin gerade mit Mikroökonomie beschäftigt. Die Steigung einer Indifferenzkurve in einem bestimmten Punkt misst man ja mit der Grenzrate der Substituition (MRS englischer Ausdruck) Der Standardfall ist wie üblich, dass die Nutzenfunktion zwei Güter beschreibt wie . Die Formel dafür ist MRS= (MU1)/(MU2) Dies beschreibt, wie viel ich von Gut2 aufgeben muss, wenn ich EINE Einheit von Gut 1 mehr bekommen möchte, wobei der Nutzen insgesamt gleich bleibt. Zum Beispiel Meine Fragen dazu sind: - ist diese Formel immer gültig? Also könnte ich sie umdrehen und durch teilen um auszudrücken, wie viel ich von Gut1 verzichten müsste, um von Gut2 eine Einheit mehr zu bekommen? -oder ist meine erste Frage Humbug (Bauchgefühl sagt ja) und diese Formel ist immer so und das Ergebnis von aus meinem Beispiel ist für beide Alternativen gültig? Also Verzicht auf Gut2 für Gut1 beträgt Einheiten von Gut2 (Alternative UND Verzicht von Gut1 für Gut2 beträgt Einheiten von Gut1 (Alternative ? Natürlich spielt sich alles in genau dem Punkt dieser einen Indifferenzkurve einer Nutzenfunktion ab. -Oder ist diese nur für Alternative 1 gültig und nicht für beide Entscheidungspfade? Präfernzen, welches Gut bevorzugt wird, lasse ich mal außen vor. Will nur das Prinzip verstehen der Formel und der GRS im allgemeinen :-) Liebe Grüße! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, also das zugrunde liegende mathematische Problem ist das Ableiten von impliziten Funktionen: Hat man eine Nutzenfunktion gegeben und möchte wissen wie viel der Konsument von Gut 1 aufgeben würde um etwas mehr von Gut 2 zu bekommen, braucht man die Steigung der Kurve, die durch im --Diagram gegeben ist. Mal sehen ob ich das noch etwas einfacher erklären kann: Die Nutzenfunktion ordnet jeder Konsummenge von Gut 1 und Gut 2 einen Wert zu. Beispiel: Gut 1 = Toast Anzahl an Toasts ; Gut 2 = Nutella Anzahl Portionen Nutella (Eine Portion reicht für genau ein Toast); Es sei und . Das heißt der Nutzen für 1 Toast und 0 Portionen Nutella ist 1 und der Nutzen für 1 Toast und 1 Portion Nutella ist 2. Also hat der Konsument lieber 1 Toast UND Nutella, also nur Toast. Die Kombinationen von Toasts und Portionen Nutella, die der Konsument gleich gut findet (könnte z.B. sein) liegen dann auf einer Kurve, die geschrieben werden kann als . Nun wenn man (als konkrete Formel; z.B. ) kennt, kann man die Gleichung einfach nach auflösen und erhält als Funktion von . So jetzt müssen wir noch klären was die Grenzrate der Substitution (GRS) ist. Im Grunde geht es um Folgendes: Du als Konsument befindest dich auf einem gegeben Nutzenniveau , also . Die Frage ist wie verändert sich wenn etwas größer wird (oder andersherum; die Definition ist da abhängig vom Lehrbuch spielt aber nicht wirklich eine Rolle). Die Antwort gibt dann die GRS an. Hat man also als Funktion von dann ist die Steigung der Kurve gerade die Angabe wie sich mit ändert. Die Steigung der Kurve ist gerade die Ableitung, also muss man nur ableiten und den Punkt einsetzen an dem man sich befindet (mach dir das ruhig mal mit der obigen Nutzenfunktion klar). So jetzt kommt das Problem. Wir würden gerne eine allgemeine Formel für die GRS haben, ohne konkret zu kennen. Also guckt man sich eine Isonutzenlinie an und muss versuchen daraus die Steigung zu extrahieren. Das macht man indem man das absolute Differential auf beiden Seiten bildet, also Das kann man dann auflösen nach Das ist definition der GRS. Diese Form gibt an wie viel Veränderung in der Konsument braucht um nach einer Änderung in das selbe Nutzen zu haben. Und da kann man einfach auf beiden Seiten gegen und umgekehrt tauschen und die Gleichung gibt an wie viel Veränderung in der Konsument braucht um nach einer Änderung von den selben Nutzen zu haben. Wenn man das jetzt nicht für unendliche kleine Änderungen wissen will, oder linear in und ist (z.B. ), dann kann man statt eben schreiben. Ich hoffe das hat dir etwas weiter geholfen. Bin mir nicht ganz sicher, ob ich den Punkt getroffen habe, also frag bitte, falls noch was unklar ist. Cheers, 42 |
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Hey, habe es mir gerade durchgelesen und war ne super und stringente Erklärung! Ich muss das noch verinnerlichen- klar- aber das Prinzip bzw. die Theorie dahinter ist mir klarer geworden. Sehr sogar! Dankesehr! Nur ein Punkt stört mich immer noch, an dem ich scheiter, Aufgaben selber richtig zu rechnen und nicht frustriert aufzugeben. Hab da eine Blockade, weil kein Lehrbuch mir weiterhilft...klingt bisschen unglaubwürdig, aber habe nichts gefunden. Das Problem ist die GRS. Das Konzept ist mir inzwischen klar, aber die mathematische Formalität kann ich noch nicht begreifen Folgendes habe ich hoffentlich durch deinen Text gelernt. Durch dich weiß ich jetzt, dass nicht irgendwelche Veränderungen bzw. sind, sondern im Zähler der Grenznutzen von Gut2-> also partiel abgeleitet nach und das im Nenner der Grenznutzen von Gut1-> also partiel abgeleitet nach steht? Soweit vllt richtig? Das formal richtige Negativ Zeichen ist wohl egal, da es sich um einen absoluten Betrag handelt. Vorausgesetzt ich liege mit meiner Annahme vom Grenznutzen richtig, ist dieses Tauschverhältnis nicht dann global für die Kurve gültig? Ich dachte aber, die GRS muss immer neu bestimmt werden für einen einzelnen Punkt im Koordinatensystem. Und wenn ich bis hier hin alles verstanden hätte, wäre mir noch unklar, wie ich mathematisch die Bewegung nach links von einem Punkt, an der ich die GRS schon ermittelt habe, ermittle. ist und Die GRS wäre hier . Ich muss 2 Einheiten von Gut 2 aufgeben, um eine Einheit von Gut1 mehr zu bekommen, wenn ich AUF meiner Idifferenzkurve (nicht Nutzenfunktion hier glaube ich) bleiben möchte? Das ist das Szenario, wo ich nach rechts wandere auf der Kurve. Jetzt der Knackpunkt für mich: ich möchte nach links. Ich möchte den umgekehrten Fall, sprich wie viel bin ich bereit von Gut 1 zu opfern, wenn ich eine Einheit von Gut 2 bekommen möchte? wäre hier quatsch oder? Sagt mir mein Gefühl...bzw. verbal würde ich diesen Vorgang nicht erklären können. also noch mal konkreter erläutert, bleiben eigtl zwei Kernfragen: -Die ermittelte GRS gültig für alle Punkte einer Indifferenzkurve? Mein Gefühl sagt nein, aber muss ich dann bevor ich rechne um überhaupt die Substitutionsrate zu bekommen, vorher im Zähler und Nenner jeweils mit anderen Punkten (anderes Güterbündel) je die Grenznutzen anders bestimmen? Also als GRS für ein Gütberbündel würde bei und rauskommen und für ein anderes Güterbündel mit derselben Nutzenfunktion würde für und rauskommen können? Edit: ob die Indiferenzkurve linear oder was es noch gibt ist, spielt vllt ne Rolle. Aber unabhängig davon, bei der Wanderung auf der Kurve nach links hacke ich...Gehen wir einfach vom Standardfall aus, glaube das ist die konvexe Indifferenzkurve, je nach dem wie die Nutzenfunktion aussieht. Gut ist, dass ich dass auch jetzt diese beiden Sachen unterscheiden kann. Da bringt man als Anfänger im Kopf das schon durcheinander. - und die angesprochende "Links-Wanderung" für den umgekehrten Fall, nur halt rechnerisch formal. Einfach Zähler und Nenner vertauschen und eine neue Subsitutionsrate bekommen oder bin hier komplett auf dem falschen Dampfer- hoffe natürlich nicht, dass ich das schon überall bin :-D) |
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Hi, also wenn ich deine Frage richtig verstanden habe willst du vor allem wissen wie sich oder verändern wenn der jeweils andere um eins größer/kleiner wird, richtig? Also im Allgemeinen ist es leider nicht so einfach wie du es beschrieben hast. Am besten lässt sich das sicher anhand eines Beispiels erklären. Betrachten wir folgende Nutzenfunktion und wir befinden uns am Punkt . Jetzt gehen wir zum Punkt und wollen gucken wie groß das entsprechende ist, das dafür sorgt, dass wir auf der gleichen Isonutzenlinie bleiben. Der neue Punkt ist also und das einzige was wir nicht kennen ist . Im allgemeinsten Fall muss man da eine Differentialgleichung lösen: Ausgehend von kann man die Gleichung aus schreiben als und das ist eine Differentialgleichung für die Funktion , d.h. die Lösung dieser Gleichung ist keine Zahl sondern eine Funktion, nämlich gerade . In unserem Beispiel würde sich das wie folgt darstellen: Die Differentialgleichung lautet also bzw. Jetzt beide Seiten von bis für integrieren und nach auflösen. Das Ergebnis ist Man muss allerdings nicht immer diese allgemeine Methode benutzen weil meistens die Gleichung für die Isonutzenlinie nach auflösbar ist. In unserem Fall: . Um zu bestimmen kann man einfach benutzen, dass und auf der Kurve liegen also gilt und damit Jetzt kann man einfach einsetzen: und nach auflösen und bekommt das gleiche Ergebnis wie oben. Es hängt also ganz stark davon ab wie aussieht, welche Formel man für bekommt. Die Formeln die man so herleitet gelten dann für Bewegungen nach rechts () genauso wie für Bewegungen nach links (). Grüße, 42 |
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Hey, hab das jetzt alles verdaut und es ist besser geworden. Habe jetzt paar Aufgaben vom Lehrbuch versucht zu rechnen und da steht auch immer, dass es standardmäßig so ist, die Nutzenfunktion nach aufzulösen um die Indifferenzkurve rauszubekommen und dann per Ableitung die GRS. Nur nur noch Verständnisfragen: -Das Zeichen benutze ich, wenn ich partiell ableite? -Das Zeichen ist kein Zeichen für eine Ableitung, sondern die Veränderung? Also ist gestiegen zu (x1)*und davon die Differenz? -Und das Zeichen was sagt das aus? |
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Hi, Ich versuch mich mal wieder an einem Beispiel (diesmal aus der Physik weil mir gerade nichts anderes einfällt): Betrachten wir einen Temperatursensor an einem Auto, das von A nach B fährt. Die Temperatur , die der Sensor misst hängt (offensichtlich) davon ab wo auf der Strecke sich das Auto befindet. Wir nennen diesen Ort . Außerdem hängt die gemessene Temperatur von der Zeit ab (Tagsüber ist es bspw an einem festen Ort wärmer als nachts). Und da sich das Auto bewegt hängt auch der Ort des Autos von der Zeit ab, also ist eine Funktion von , sprich . Nimmt man alles zusammen bekommt man für die Temperatur-Funktion . Nehmen wir mal eine ganz einfaches Beispiel für : So jetzt zu deiner Frage: Das Zeichen ist tatsächlich für eine partielle Ableitung, das bedeutet man leitet nur die explizite Abhängigkeit ab: Das Zeichen bedeutet totale Ableitung, d.h. man leitet alle Abhängigkeiten (auch implizite) ab: Im ersten Fall ignoriert man also die Abhängigkeit von , die implizit über rein kommt und im zweiten Fall berücksichtigt man sie. Das Zeichen steht im allgemeinen für eine (endliche) Differenz. Also z.B. . Mehr steckt erst mal nicht dahinter. Man kann allerdings das Differential als "unendlich kleine" Differenz zwischen 2 Punkten interpretieren. Integriert man dann das Differential über ein Intervall bekommt man die DIfferenz: Hoffe das hilt. Cheers, 42 |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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