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Grenzrate der Substitution berechnen

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Finanzmathematik

Tags: Grenzrate, Substitution

 
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binverwirrt

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21:13 Uhr, 22.10.2020

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Hallo zusammen,

in unserem Kurs zu Mikroökonomie haben wir folgende Aufgabe erhalten:

Der Konsument hat folgende Utility-Funktion:

a)U=x12+2x1x2+3x22

Was ist die Grenzrate der Substitution zwischen x1 und x2 am Punkt P(1,1)?

In den Folien steht, dass die Grenzrate der Substitution normalerweise <0 ist. Leite ich allerdings die Funktion U nach x1 und nach x2 ab, erhalte ich zwei Funktionen die nur positive Werte enthalten. Wie soll denn der Wert dann am Ende <0 werden? Ich komplett verwirrt...


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

22:37 Uhr, 22.10.2020

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Hallo,

vorab: Ich habe kein VWL, BWL oder derartiges studiert, möchte also meine Äußerungen zu diesem Thema mit Vorsicht genossen wissen.

Ich habe nun ein paar Links angeschaut und finde z.b. auf de.wikipedia.org/wiki/Grenzrate_der_Substitution , dass

die Grenzrate Ux1Ux2 zu gelten hat.

Hier also: Ux1=2x1+2x2 und Ux2=2x1+6x2, womit sich die Grenzrate als 21+2121+61=12 ergibt.

Soweit solltest du vermutlich allein gekommen sein.

Nun zu dem dich irritierenden Problem:

> In den Folien steht, dass die Grenzrate der Substitution normalerweise <0 ist.

Ok, und jetzt fangen wir mal an, richtige Mathematik zu "reden".

Die Funktion U (die ja von den beiden "Gütern" x1 und x2 abhängt) definiert implizit(!) eine Funktion f(x1) per U(x1,x2)=!0, d.h. es sind nur diejenigen x2=f(x1) interessant, für die U(x1,f(x1))=0 gilt.

Die Grenzrate der Substitution scheint mir in diesem Zusammenhang einfach die Ableitung der implizite definierten Funktion f zu sein. Genauer: Es ist der Betrag(!) dieser Ableitung, da die Ableitung wohl zumeist negativ ist. (In diesem Fall lässt sich das leider nicht bestätigen, dazu weiter unten mehr.)

Mathematisch ergibt sich die so genannte implizite Ableitung in solchen Fällen über 0=Ux1+Ux2fʹ(x1)fʹ(x1)=-Ux1Ux2 bzw. -fʹ(x1)=Ux1Ux2.

So, nun würde ich dir gern f genauer vorstellen, das geht aber leider nicht, da die Gleichung x12+2x1x2+3x22=0 eben nur genau eine Lösung hat, was man an der einfachen Umformung x12+2x1x2+3x22=0(x1+x2)2=-2x22 sehen kann.
Auf beiden Seiten stehen Quadrate, rechts aber mit negativem Vorzeichen. Daraus schließe ich, dass die einzige Lösung von x12+2x1x2+3x22=0 eigentlich (0;0) sein kann. Interesanterweise ist das nicht die angegebene Lösung!!

Ich gebe aber zwei Dinge zu bedenken:
1. Vielleicht habe ich einfach nicht verstanden, worum es hier geht.
2. Vielleicht hast du auch ein Minuszeichen unterschlagen?

Wäre U=x12+2x1x23x22, so wäre tatsächlich (1;1) eine Lösung.
Dann wäre f übrigens auch direkt berechnen: 3y2-2xy=x2y2-213x=13x2y2-213x+19x2=13x2+19x2(y-13x)2=49x2
y-13x=±23xy=f(x)=13x±23x, d.h. f kann durch die zwei sich schneidenden Geraden mit den Gleichungen y=x bzw. y=-13x "dargestellt werden" (die Mathematiker in diesem Forum werden bitte die fachlich nicht korrekte Ausdrucksweise verzeihen), wobei der Punkt (1;1) auf der ersteren liegt.

Dann wäre natürlich auch Ux2 anders, nämlich Ux2=2x1-6x2, was zu der veränderten Grenzrate Ux1Ux2=4-4=-1 führen würde. Dann wäre allerdings ein Betrag hilfreich, damit der resultierende Wert 4-4=1=fʹ(1) mit f(x)=x passen würde.

Vielleicht kann da ja mal jemand vom Fach drüber schauen und das Schlimmste korrigieren?!

Mfg Michael
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pivot

pivot aktiv_icon

01:47 Uhr, 23.10.2020

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Hallo,

Totales Differential

dU=Ux1dx1+Ux2dx2
dU=0

Ux1dx1+Ux2dx2=0

Ux1dx1=-Ux2dx1:dx2

Ux1=-Ux2dx2dx1:Ux2

Ux1Ux2=-dx2dx1

Das Verhältnis der Grenzproduktivitäten (Part. Ableitungen der Prod-Funktion) ist gleich die negative Grenzrate der Substitution.

Ist dein Ergebnis positiv, dann ist die Grenzrate der Substitution negativ.

Gruß
pivot








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