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Grenzwert berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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12:12 Uhr, 26.06.2019

Hallo ihr Lieben,

ich soll den Grenzwert der Folge

\frac{n - 1}{n + 1}

berechnen und kann den Lösungsweg nicht ganz nachvollziehen. Mir ist klar, dass der Grenzwert 1 ist, da ich für die ersten fünf Folgeglieder

n

eingesetzt habe.

Im Lösungsscript steht nicht der komplette Lösungsweg und ich habe ein wenig rum probiert, komme aber nicht auf die Lösung.

Schritt

1 : n

ausklammern, bzw. das

n

mit dem höchsten Exponent ausklammern:

\frac{n (1 - \frac{1}{n})}{n (1 + \frac{1}{n})}

Schritt 2: ich kürze das

n

\frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}

An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Mein erster Gedanke war, ich probiere mal den Doppelbruch aufzulösen, komme allerdings nicht auf das Ergebnis. Zweiter Gedanke war, da ja

\frac{1}{n}

gegen 0 geht, wären die beiden Brüche ja 0.

D . h

. ich hätte da noch

\frac{1}{1}

stehen, was 1 wäre. Ist das korrekt gedacht?

\frac{1 - 0}{1 - 0} \to \frac{1}{1} \to 1

Bei Wolfram Alpha steht als Lösungsweg

n - 1 = 0

. Da kann man ja ablesen, dass

n = 1

sein muss. Wie komme ich auf diese Lösung? Ich vermute mal, dass ich mit den Brüchen ein bisschen arbeiten muss und würde das gerne trainieren.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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12:18 Uhr, 26.06.2019

Hallo,

wenn du im Zähler und Nenner n ausklammerst steht da

\frac{n \cdot (1 - \frac{1}{n})}{n \cdot (1 + \frac{1}{n})}

.

Jetzt dürfte es dir leichter fallen den Grenzwert zu ermitteln.

Gruß

pivot

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12:21 Uhr, 26.06.2019

@pivot, du hast natürlich recht. War ein Übertragungsfehler. Habe meine Frage aktualisiert.

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12:24 Uhr, 26.06.2019

Deine Analyse passt jetzt aber nicht mehr dazu. Du kürzt n und dann ...

anonymous

12:31 Uhr, 26.06.2019

Dein Gedankengang ist prinzipiell schon völlig richtig.
Um das aber auch noch formal richtig zu stellen und darzustellen:

lim_{n \to \infty} \frac{n - 1}{n + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot (1 - \frac{1}{n})}{n \cdot (1 + \frac{1}{n})}

= lim_{n \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}

= \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1

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12:32 Uhr, 26.06.2019

@pivot

Meinst du ab dem Punkt:

\frac{1 - \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}

?

Ich weiß, dass

\frac{1}{n}

immer kleiner wird, also gegen 0 konvergiert. Daher nehme ich an, dass

\frac{1}{n} = 0

ist.

d . h

. ich hätte dann

\frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

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12:35 Uhr, 26.06.2019

Ich weiß jetzt nicht ob ich deine Änderungen bei der Frage richtig mitbekommen habe. Auf jeden Fall stimmt es jetzt. Wie schon von 11engleich erwähnt, musst du es jetzt nur formal richtig aufschreiben.

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12:37 Uhr, 26.06.2019

@11engleich
@pivot

dankeschön!

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