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Grenzwert beweisen

Schüler Maturitätsschule,

Tags: Eulersche Zahl, Grenzwert, lim, limes x gegen unendlich

 
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anonymous

anonymous

18:38 Uhr, 19.08.2018

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Guten Abend zusammen

Der Term (1-1n)n strebt für n gegen unendlich gegen 1e. Ich versuche den Grenzwert zu beweisen, aber ich schaffe das nicht. Könnt Ihr mir bitte helfen?
Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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18:51 Uhr, 19.08.2018

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www.mathelounge.de/413483/den-grenzwert-der-folge-1-1-n-n-bestimmen
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pivot

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18:57 Uhr, 19.08.2018

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Hallo,

du könntest den Term umformen zu

limnenln(1-1n)==elimnnln(1-1n)

Jetzt den Grenzwert von limnnln(1-1n) berechnen. Dazu die Regel von de l´Hospital verwenden.

limnln(1-1n)1n

Also Zähler und Nenner ableiten.

Gruß

pivot
anonymous

anonymous

13:08 Uhr, 20.08.2018

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Guten Mittag Privot

Ich verstehe nicht, wie du auf diesen Term limnenln(1-1n) gekommen bist?


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13:12 Uhr, 20.08.2018

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Es gilt:

ab=elnab=eblna
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Roman-22

Roman-22

13:16 Uhr, 20.08.2018

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> Ich verstehe nicht, wie du auf diesen Term limn→∞enln(1−1n) gekommen bist?

x=eln(x)

xn=eln(xn)=enlnx

und nun wende das für x=1-1n an.

Aber für deinen Beweis ist es wichtig zu wissen, wovon man ausgehen kann, was vorausgesetzt werden darf.

Im Grunde sollte ja limn(1+an)n=ea bekannt sein und damit ist es dann ja trivial.

Was darf also vorausgesetzt werden?
Wie hab ihr die Eulersche Zahl definiert?
Darf wirklich de l'Hôspital verwendet werden?
anonymous

anonymous

13:42 Uhr, 20.08.2018

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Guten Nachmittag Roman-22

Danke für die Hilfe. Zu deiner Frage, was vorausgesetzt werden kann: Es ist mir überlasssen, was ich voraussetze. Der Beweis mit der Voraussetzung limn(1+an)n=ea ist einfach. Die Definition der e ist auch mir überlassen. Ich benütze als e den Grenwert vom Term (1+1n)n. Ich versuche gerade den Beweis mit der Regel de l'hospital, der wiederum schwierig ist.
anonymous

anonymous

13:59 Uhr, 20.08.2018

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Guten Nachmittag Privot

Ich verstehe diese Umformung nicht:

limnenln(1-1n)=elimn(nln(1-1n))
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ledum

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19:10 Uhr, 20.08.2018

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Hallo
benutzt wurde: eln(a)=a
und aln(b)=ln(ab)
aber für den Beweis nicht die Def. von e zu benutzen, sondern a) die Umkehrfunktion, deren Monotonie , und dann L'Hopital, also den Anfang der Reihe für ex ist irgendwie sehr unangemessen, denn da geht ja die Definition der e- funktion und nicht nur die von e ein. Theoretisch also Unmengen von Vors.
Gruß ledum
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ermanus

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19:37 Uhr, 20.08.2018

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Hallo,

es ist
1(1-1n)n=1(n-1n)n=(nn-1)n=(n-1+1n-1)n=
=(1+1n-1)n=(1+1n-1)n-1(1+1n-1)e1=e.

Gruß ermanus
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ermanus

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20:42 Uhr, 20.08.2018

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Noch 'ne Idee:

(1+1n)n(1-1n)n=((1+1n)(1-1n))n=
=(1-1n2)n1.
Mit der Bernoullischen Ungleichung gilt aber (ab n2):
(1-1n2)n1-n1n21.
Also lim(1-1n2)n=1. Insgesamt haben wir dann
elim(1-1n)n=lim(1+1n)nlim(1-1n)n=lim(1-1n2)n=1.
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anonymous

anonymous

21:43 Uhr, 20.08.2018

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Meine Vorredner haben es ja schon gesagt; die Standardoperation ist immer die Inversion am Einheitskreis




    z:=1n    (1a)



    G(n)=G(z)=(1-z)1z    (1b)



Als nächstes tust du logaritmieren:




    F(z):=ln(G)=ln(1-z)z    (2a)



Hier F ist doch nichts weiter als der Differenzenquotient ( DQ ) der Funktion (2b)



    f(z):=ln(1-z)    (2b)


genommen zwischen z0=0 und der beliebigen Stelle z schlicht und ergreifend, weil f(0)=0 Und der Grenzwert dieses DQ ergibt, wie du weißt, f'(0)



    f  '(z)=1z-1    (3a)


    f  '(0)=(-1)    (3b)



Was haben wir damit erreicht? Effektiv haben wir doch gesagt, F, also der Logaritmus von G, geht gegen Minus Eins . Dann geht aber G, das wir ja ursprünglich suchten, gegen 1e.

In einem vergleichbaren Fall bekam ich mal den Kommentar

" Wenn doch der Trick darin besteht, dass wir diese Transformation anwenden sollen. ' Zu Was ' lernen wir dann eigentlich noch Definitionsbereich? "
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anonymous

anonymous

22:26 Uhr, 20.08.2018

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Ich danke euch alle für eure Hilfe. Ich werde diese Woche eure Antworten anschauen und bei Fragen melde ich mich.
Danke:-)