Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwert mit e-Funktion bestimmen

Grenzwert mit e-Funktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: e-Funktion, Folge, Grenzwert, lim, unendlich

Nicohe aktiv_icon

11:27 Uhr, 22.02.2019

Hallo!

Bei meiner Klausurvorbereitung bin ich auf diese Aufgabe gestoßen, bei welcher es mir nicht gelingen will, diese weiter zu vereinfachen, um auf den Grenzwert zu schließen.

Aufgabe ist diese:

lim_{n \to \infty} \frac{x^{n^{2}}}{n^{2 n}},

wobei

x > 0

Als Tipp ist hier angegeben: "Schreiben sie alles als e-Funktion und nutzen sie:

\frac{ln (n)}{n} \to 0 (n \to \infty)

Mein Ansatz war hier:

lim_{n \to \infty} \frac{x^{n^{2}}}{n^{2 n}} = lim_{n \to \infty} e^{ln (\frac{x^{n^{2}}}{n^{2 n}})} = e^{lim_{n \to \infty} ln (\frac{x^{n^{2}}}{n^{2 n}})}

Betrachte Exponent:

lim_{n \to \infty} ln (\frac{x^{n^{2}}}{n^{2 n}}) = lim_{n \to \infty} ln (x^{n^{2}}) - ln (n^{2 n}) = lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot ln (x) - 2 n \cdot ln (n)

Ab hier fällt mir kein weiterer Weg ein...

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen, vielen Dank im Voraus!

LG Nick

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

pwmeyer aktiv_icon

11:49 Uhr, 22.02.2019

Hallo,

zunächst musst Du unterscheiden:

x \leq 1 :

Dann ist das ERgebnis klar

x > 1 :

Dann hast Du einen Grenzwert vom Typ "

\infty - \infty

". Um den korrekt zu bearbeiten, klammerst Du

n^{2}

aus und bearbeitest den 2. Term mit dem Tipp.

Gruß pwm

Mathe45

12:40 Uhr, 22.02.2019

"crosspostigs" sind nicht gerne gesehen.
www.mathelounge.de/612420/grenzwertaufgabe-mit-e-funktion-fur-n-gegen-unendlich
Warum soll man sich hier engagieren, wenn du sowieso anderswo Antworten bekommst ?

Nicohe aktiv_icon

12:48 Uhr, 22.02.2019

Vielen Dank für deine Hilfe!

Damit bin ich nun auf folgendes gekommen:

Fall

1 (x \leq 1) :

lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot ln (x) - 2 n \cdot ln (n) = - \infty = e^{- \infty} = 0

Fall

2 (x > 1)

lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot ln (x) - 2 n \cdot ln (n) = lim_{n \to \infty} n^{2} (ln (x) - \frac{2}{n} \cdot ln (n))

Rechter Term:

lim_{n \to \infty} - 2 \cdot \frac{ln (x)}{n} = - 2 \cdot lim_{n \to \infty} \frac{ln n}{n} = 0

(Da ist ja sogar auch der Tipp aufgetaucht)

Also:

lim_{n \to \infty} n^{2} \cdot ln (x) = \infty \Rightarrow e^{\infty} = \infty

Wenn ich nun richtig gerechnet habe sollte das so passen, oder?
Danke nochmal!

Nicohe aktiv_icon

12:51 Uhr, 22.02.2019

Da ich dort nach einem Tag keine Antwort erhalten habe und die Aufgabe schien sehr wichtig zu sein, weswegen ich dieses Forum aufgesucht habe.
Sonst wäre das natürlich sinnlos, das stimmt!

1460130

1460118

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?