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Grenzwert und Integral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Grenznwert, Integration, Lebesgue

shiroxx aktiv_icon

19:24 Uhr, 03.11.2019

Guten Abend,

Ich beschäftige mich mit folgenden Integralen und weiß beim Ersten nicht weiter

a) lim_{n \to \infty} \int_{- 1}^{1} (\frac{1}{1 + x^{2 n}}) d x

Ich soll jetzt den Grenzwert bestimmen ,falls er exisitert, aber ich glaube das tut er nicht, da ich keinen mir bekannten Satz anwenden kann, also Satz von Beppo Levi, Satz über monotone Konvergenz, oder Satz über majorisierte Konvergenz

Lieg ich mit meiner Vermutung richtig? und wenn ja wie zeige ich dies?

b) lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} (1 - \frac{x}{n}) sin (x) d x

Ich denke, dass bekommt man ganz gut abgeschätzt also mit

e

und sinus ist meistens ja kein Problem also würde ich erstmal sagen das existiert bzw ich darf das

lim

und das Integral tauschen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

abakus

19:31 Uhr, 03.11.2019

Der Integrand ist symmetrisch zur y-Achse.
An jeder Stelle zwischen 0 und 1 geht

x^{2 n}

gegen 0, der Bruch damit (mit Ausnahme der Stelle 1 selbst) gegen 1.
In der Abbildung siehst die die Funktion für n=10:

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19:39 Uhr, 03.11.2019

Ich hab ganz außer acht gelassen, dass ich zwischen

- 1,1

bin, stimmt
Aber nach welchem Argument, darf ich denn den Grenzwert und das Integral tauschen

HAL9000

19:47 Uhr, 03.11.2019

Zu a)

n \mapsto \frac{1}{1 + x^{2 n}}

IST doch monoton wachsend für alle

x \in (- 1, 1)

!!!

Zu b) Man kann direkt

\int_{0}^{n} (1 - \frac{x}{n}) \sin (x) d x = 1 - \frac{1}{n} \sin (n)

ausrechnen (Stichwort: partielle Integration), somit ist auch der Grenzwert für

n \to \infty

offensichtlich. Eine Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwertbildung sehe ich hier NICHT, im Gegensatz zu a). Du hast also gerade falsch herum geraten.

shiroxx aktiv_icon

19:59 Uhr, 03.11.2019

ohh, das stimmt also darf ich den Grenzwert ins Integral reinziehen, das Problem ist, jedoch wie ich dass dann aufschreibe, kann ich dann einfach

x^{2 n}

weglassen, da ich ja

x

aus

(- 1,1)

habe und das gegen 0 geht für die

x

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20:03 Uhr, 03.11.2019

bei

b)

würde uns noch der Tipp gegeben, dass

{(1 - \frac{x}{n})}^{n} \geq {(1 - \frac{x}{n + 1})}^{n + 1}

gilt für

n \geq x \geq 0

hast du ne Idee was die mir damit sagen wollten?

shiroxx aktiv_icon

20:05 Uhr, 03.11.2019

Aber stimmt

b

könnte man dann einfach so lösen, da der Grenzwert davon für

n

gegen unendlich ja nicht existiert

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20:05 Uhr, 03.11.2019

Aber stimmt

b

könnte man dann einfach so lösen, da der Grenzwert davon für

n

gegen unendlich ja nicht existiert

abakus

21:13 Uhr, 03.11.2019

Hier ist etwas monoton fallend (und wird für n gegen Unendlich immer kleiner)!

War eigentlich der Exponent n von Beginn an in der Vorschrift und wurde vergessen mitzuschreiben, oder gehört der nur in den Tipp?

shiroxx aktiv_icon

22:26 Uhr, 03.11.2019

ups, das

n

muss von Beginn an in den Exponenten
Ich hab jetzt zumindest ein Volumen raus

HAL9000

09:49 Uhr, 04.11.2019

> ups, das

n

muss von Beginn an in den Exponenten

Phänomenal früh gemerkt, Respekt. Das freut die Helfer ungemein, solche beiläufigen Korrekturen Stunden später.

> bei b) würde uns noch der Tipp gegeben, dass

{(1 - \frac{x}{n})}^{n} \geq {(1 - \frac{x}{n + 1})}^{n + 1}

gilt für

n \geq x \geq 0

Tatsächlich ist es gerade anders herum, d.h.

{(1 - \frac{x}{n})}^{n} \leq {(1 - \frac{x}{n + 1})}^{n + 1}

für

n \geq x \geq 0

, beweisbar z.b. via Bernoullische Ungleichung. Außerdem gilt

lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{x}{n})}^{n} = e^{- x}

für alle positiv reellen

x

.

Wir haben hier insofern ein Problem, dass wir wegen der wechselnden Vorzeichen des anderen Faktors im Integral (nämlich der Sinusfunkion

\sin (x)

) nicht direkt mit monotononer Konvergenz argumentieren können. Allerdings können wir dies zunächst intervallweise

[k (π), (k + 1) π]

tun, d.h.

lim_{n \to \infty} \int_{k π}^{(k + 1) π} 1_{[0, n]} (x) {(1 - \frac{x}{n})}^{n} \sin (x) d x = \int_{k π}^{(k + 1) π} e^{- x} \sin (x) d x

Und damit folgt durch Zusammenstückeln letzlich doch auch

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} 1_{[0, n]} (x) {(1 - \frac{x}{n})}^{n} \sin (x) d x = \int_{0}^{\infty} e^{- x} \sin (x) d x = \frac{1}{2}

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