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Grenzwertbestimmung mittels L`Hospital und Taylor

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen

tompo7 aktiv_icon

16:55 Uhr, 01.06.2019

Servus Leute,

Ich soll von Folgenden Funktionen den Grenzwert bestimmen:

$a) lim_{x \to 0} \frac{ln (x + 1)}{x}$

Ich versuchs mal mit L´Hospital:

$\frac{d}{d x} f (x) : ln (x + 1) \to \frac{1}{x + 1}$

$\frac{d}{d x} g (x) : x \to 1$

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1} \to 1$

damit: $lim_{x \to 0} \frac{ln (x + 1)}{x} = 1$

Nun mittels Taylorentwicklung: $(3$ . Grades) $x_{0} = 0$

Taylorpolynom von $f (x) : x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + . .$ .
Taylorpolynom von $g (x) : x + . .$ .

Nun wird der Grenzwert gebildet:

$lim_{x \to 0} \frac{ln (x + 1)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} ...}{x ...} = lim_{x \to 0} (\frac{\frac{x}{x} - \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{3}}{3 x} ...}{\frac{x}{x} ...}) = lim_{x \to 0} (\frac{1 - \frac{x^{2}}{2} x + \frac{x^{3}}{3 x} ...}{1}) \to 1$

$b) lim_{x \to 0} \frac{x \cdot sin (x)}{1 - cos (x)}$

L´Hospital ist klar, lass ich mal weg! Mit Taylor: $(3$ . Grades) $x_{0} = 0$

Taylorpolynom von $f (x) : + x^{2} + . .$ .
Taylorpolynom von $g (x) : + \frac{x^{2}}{2} + . .$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot sin (x)}{1 - cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{+ x^{2} + ...}{+ \frac{x^{2}}{2} + ...} = lim_{x \to 0} \frac{+ \frac{x^{2}}{x^{2}}}{+ \frac{x^{2}}{2 x^{2}}} = lim_{x \to 0} (\frac{1}{\frac{1}{2}}) = 2$

Sollte doch so stimmen, aber eine Frage, warum macht man es so umständlich, wenns mit Hospital so viel einfacher geht?

LG. Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

17:43 Uhr, 01.06.2019

Hallo,

sieht gut aus, was Du gemacht hast.

Man kann nicht pauschal sagen, dass $l' H$ einfacher ist. Manchmal ist es Geschmackssache, manchmal eine Frage der Erfahrung.

Nimm mal das "Beispiel":

$lim_{x \to 0} \frac{x^{5}}{x^{5}}$

Um das mit $l' H$ zu bearbeiten müsstest Du 5 mal differenzieren! Diese Problematik kann auch bei Aufgaben "versteckt" auftreten.

Jedenfalls ist es immer gut, einen Plan $B$ zu haben.

Gruß pwm

tompo7 aktiv_icon

18:28 Uhr, 01.06.2019

Vielen Dank, ja hast vermutlich Recht mit dem Plan B.

LG. Thomas

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