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Grenzwertbestimmung und Definition von Grenzwert

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Definition, Grenzwert, Ungleichung, Ungleichung lösen

 
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FlawlessGlue

FlawlessGlue aktiv_icon

18:22 Uhr, 17.06.2019

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Schönen Guten Abend,
ich habe ein Problem: ich verstehe nicht, wie ich mit dieser Grenzwertaufgabe umgehen soll:

Es sei f(x)=xx+x
(a) Nennen Sie die Definition von limx (inf) f(x)=a
(b) Zeigen Sie für x>1 die Ungleichung:
0<1-1x<f(x)<1
(c) Begründen Sie mit (b) die Vermutung limx (inf) f(x)=1
(d) Zeigen Sie mit Hilfe der Definition limx (inf) f(x)=1.

Das ist die gesamte Aufgabe. Mir war es nicht möglich, in meinen Unterlagen Wege zu finden, die mir weiterhelfen, meine Bekannten wissen auch nicht weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ledum

ledum aktiv_icon

23:37 Uhr, 17.06.2019

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Hallo
den Ausdruck limx→ (inf) f(x) soll das heissen limxf(x)=a
dann lies einfach mal die Definition von lim nach. es existiert zu jedem ε ein x0, so dass für alle x>x0 gilt |f(x)-a|<ε
das 0<1-1x ist wegen x>1 trivial, ebenso f(x)<1 Kürze z.b durch x
bleibt (x-1)(x)<xx(x+1) multipliziere mit (x+1)
Gruß ledum


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rundblick

rundblick aktiv_icon

15:10 Uhr, 18.06.2019

Antworten
...................................................... 1-1x<f(x).. ??

hallo ledum

kann es sein, dass du einen Bruchstrich vergessen hast?
denn mir scheint, dass 1-1x nicht gleich (x-1)(x) ist ..

nebenbei:
und dann könnte ja der nicht wieder aufgetauchte Fragesteller auch gleich auf
beiden Seiten der fraglichen Ungleichung mit (x+1)(x) multiplizieren ?!

Gruss
.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:34 Uhr, 18.06.2019

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Hallo,
will nur kurz noch einen eigenen Senf dazugeben:
ich finde, dass die Aufgabe mit den einzelnen Schritten ((b) und (c))
vom "natürlichen Vermuten" abhält.
Ich sehe die Sache hemdsärmeligerweise so:
Je größer x wird, desto mehr "setzt sich x gegenüber x durch",
so dass ich vermute xx+x1.
Naja, dann kann ich ja einfach mal den Limes des Kehrwerts betrachten:
x+xx=1+1x. Das strebt doch ganz offensichtlich
gegen 1+0.
Dann benutze ich lim1f(x)=1limf(x).
Gruß ermanus

FlawlessGlue

FlawlessGlue aktiv_icon

18:02 Uhr, 18.06.2019

Antworten
Bitte um Entschuldigung, aber der nicht aufgetauchte Fragesteller muss tagsüber arbeiten, um sich zu finanzieren.
Aufgabe (a) wurde klar, danke.
Bei Aufgabe (b) habe ich mich auf die Seite f(x)<1 fokussiert, da, wie bereits gesagt,
0<1-1x trivial ist.
Meine Rechnung sieht also so aus (man möge anmerken, dass ich in diesem Fach neu bin, und mich generell mit vielen Sachen sehr ins kalte Wasser gestoßen fühle):

xx+x<1|+1x

xx+x+1x=xx+x+xx+xx=1+xxx+x<1+1x=1+xx

1+xxx+x<1+xx

xxx+x<xx

xx(x+1)<x(x+1)x(x+1)

x<x+x
0<x, und das stimmt, da x>1.

Die Fragestellung in (c) verlangt, dass ich das Ergebnis aus (b) nutze, doch ich weiß nicht wie. Also werde ich für diese Aufgabe und Aufgabe (d) die Ansätze von ermanus nutzen.

Viel Dank für die Rückmeldung, MfG
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

18:28 Uhr, 18.06.2019

Antworten
.
"und mich generell mit vielen Sachen sehr ins kalte Wasser gestoßen fühle"

damit dir etwas warm wird und du nicht so mühsam herumschwimmen und endlos rechnen musst :
dass xx+x<1 gilt, kannst du so sehen
da im Nenner zum positiven x noch etwas Positives ( dh +x) dazukommt ,
ist der Nenner grösser als der Zähler, in dem nur ein x herumsteht..
folglich ist der Bruch kleiner als 1 ...fertig .. und du bleibst auf festem Land.. ?


"auf die Seite f(x)<1 fokussiert"

und so hast du den Fokus weg vom echten Hauptproblem gelenkt , nämlich :

1-1x<f(x).... und darauf hat dich zB ledum (fast fehlerfrei) auch schon aufmerksam gemacht
also: wie beweist du die Richtigkeit dieser Ungleichung ... dazu siehe oben !!

.
Frage beantwortet
FlawlessGlue

FlawlessGlue aktiv_icon

20:21 Uhr, 18.06.2019

Antworten
Ich bedanke mich für die Antworten.
Ja, ich habe mich auf den falschen Teil der Frage konzentriert, die Aufgaben habe ich jedoch bereits abgegeben. Ich werde die Lösungen meines Dozenten später posten, da er auf die exakt auf die Fragestellungen eingehen wird.

MfG