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Grenzwerte berechnen
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Hallo, ich fange gerade mit dem Thema Grenzwerte und limes an. Dazu habe ich ein paar Übungsaufgaben erhalten (aber ohne Lösung ;o) Würde mich freuen, wenn Ihr meine folgende Berechnung mal testen könntet, ob diese auch stimmt. Bin mir noch nicht so ganz sicher, ob ich das Thema schon verstanden habe. Der Grenzwert liegt also bei 2 Danke für Eure Hilfe und nen schönen Feiertag noch! lg Hannes |
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Hallo Hannes, alles korrekt (das, was wie n3 aussieht, soll vermutlich n³ sein; liegt vielleicht am Formeleditor(?)). Nur dein Antwortsatz: "Der Grenzwert liegt also bei 2" ist nicht besonders schön formuliert. Schreibe besser: "Der Grenzwert ist 2." um jegliche Mißverständnisse zu vermeiden! Man kann es auch so formulieren: "Die Folge (a_n), n aus IN, mit a_n:=(12n³+8n²-3n+2)/(6n³+600n²-28), konvergiert gegen 2." "Die Folge (a_n), n aus IN, mit a_n:=(12n³+8n²-3n+2)/(6n³+600n²-28), geht gegen 2 (bei n->oo)." "Der Grenzwert der Folge (a_n), n aus IN, mit a_n:=(12n³+8n²-3n+2)/(6n³+600n²-28), ist 2." Es ist (hier) so: Der Grenzwert ist (im Falle der Existenz) eine konstante Zahl. Dass der Grenzwert gegen eine Zahl gehen soll (was man manchmal zu lesen bekommt), macht keinen Sinn (bzw. nur bedingt Sinn, wenn man sich etwas zurechtinterpretiert ;-)). Du kannst höchstens sagen, dass die Folge gegen diese Zahl (den Grenzwert) geht (wenn die Folge konvergiert)! Und wenn du schreibst/sagst: "Der Grenzwert liegt also bei 2.", dann wäre die erste Frage, die ich in einer Prüfung stellen würde: "Wie nahe liegt der Grenzwert denn bei 2?" Es kann sein, dass dir das auch klar ist und du einfach nicht auf die Formulierung geachtet hast; aber ich wollte dich dennoch drauf aufmerksam machen ;-) A Propos, mach dir folgendes klar: Du hast (nachdem du mit 1/n³ erweitert hast) folgende Regeln für Grenzwerte benützt: www.mathematik.uni-trier.de~mueller/pdfANAI.pdf -> Satz 5.5 und natürlich ausgenutzt, dass du gewisse Nullfolgen nach dieser Erweiterung (mit 1/n³) erhalten hast und konstante Folgen gegen die Konstante konvergieren) Viele Grüße Marcel |
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Hallo! Ich hätte noch eine kleine Bemerkung. Der Grenzwert muss nicht immer eine konstante Zahl sein (im Falle der Existenz). Dieses kann noch verallgemeinert werden. Also der Grenzwert kann auch die Funktion sein. Der konkrete Fall ist (kann) dann natürlich eine Zahl (sein). D.h. ich denke an Folgendes: Aber wann der Grenzwert existiert, ist hier eine andere Sache; es hängt auch mit der gleichmässigen Stetigkeit und mit manchen anderen Kleinigkeiten. Viele Grüße Marian |
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Hallo Marian, du hast natürlich Recht ;-) Was ich hier meinte, war eigentlich nur den Grenzwert bei Zahlenfolgen (ich glaube, dass das Wort auch nicht so gut gewählt ist (ich bin mir auf jeden Fall nicht sicher), genauer meine ich: -> unten, Link zum Analysis-Skript, Kapital 5, Definition 5.1). Also Folgen in IR oder C... Du sprichst ja schon von Funktionenfolgen. Aber ich hätte wirklich besser auf meine Formulierung achten sollen... ;-) Ferner kann ein Grenzwert ja auch ein Element eines metrischen Raumes sein... Wenn sich irgendjemand näher damit beschäftigen will: www.mathematik.uni-trier.de~mueller/pdfANAI.pdf -> Kapitel 5, Definition 5.1 -> Kapitel 8, Definition 8.14 -> Kapitel 10, Definition 10.4 -> Kapitel 15, Definition 15.1, Definition 15.3 Mit topologischen Räumen bin ich nun nicht so vertraut. Aber auch dort gibt es eine Definition des Grenzwertbegriffes: users.math.uni-potsdam.de~baer/DiffGeo/topo.pdf -> Definition 1.7 Der Grenzwert ist dort ein (nicht notwendig eindeutiges) Element eines/des topologischen Raumes (-> obiger Link: Bemerkung nach Übung 1.8)! Allgemein kann man vielleicht sagen: Was ein Grenzwert ist (im Falle der Existenz), hängt davon ab, was man untersucht und in welchen Räumen man das untersucht ;-) Ich denke/glaube aber, dass Hannes bisher nur die (oben erwähnte) Definition 5.1 (vielleicht sogar auch nur für IK=IR) kennengelernt hat und ihn alles andere zu dieser Zeit noch nicht interessiert (weil er es noch nicht braucht/kennt)... Weiter habe ich allerdings, um deinen Hinweis nicht unbeachtet zu lassen, in meinem letzten Posting bei meinem Satz: > "Es ist so:..." das kleine Wörtchen 'hier' in Klammern ergänzt. Der Satz lautet nun: > "Es ist (hier) so:..." Ich denke/hoffe, dass das dort genügt, weil wir den Grenzwertbegriff ja nun hier doch (etwas) ausführlicher diskutiert haben und jeder, der will, kann sich mit den Links/Verweisen und deiner Bemerkung genauer informieren ;-) Viele Grüße Marcel |
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Sorry, war im Urlaub und konnte daher nicht früher antworten ;o) Vor lauter Grenzwerte mußte ich in Urlaub ... *g*. Danke für Eure Ausführungen, mit ist damit wieder einiges klarere geworden. lg Hannes |
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