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Grenzwerte bestimmen

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Grenzwerte

Tags: Grenzwert

Lawliet aktiv_icon

14:53 Uhr, 12.01.2022

Hallo,

ich soll die Grenzwerte der Folgen:

a_{n} = \frac{35 n^{2} + 3 n - 4}{7 n^{2} - 25}

b_{n} = \prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k})

c_{n} = n [{(1 + \frac{1}{n})}^{7} - 1]

d_{n} = \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} - n + 2} - n}

berechnen.

a_{n}

ist das Vorgehen recht offensichtlich und ergibt 5
jedoch verstehe ich nicht ganz, wie man bei den anderen vorgehen soll.
Habe sie aus Neugier ausrechnen lassen und für

b_{n} = 1; c_{n} = 7; d_{n} = - \infty

herausbekommen.
Abgesehen davon, dass ich nicht weiß, wie man darauf kommt, wirkt die 7 sehr fragwürdig für mich.

Danke im Voraus
MfG Lawliet

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
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14:59 Uhr, 12.01.2022

d_{n}

geht mit diesem Trick:
www.youtube.com/watch?v=ezmdWgGUqXU

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15:07 Uhr, 12.01.2022

"Habe sie aus Neugier ausrechnen lassen"

Won wem ausrechnen lassen? Hast du einen freundlichen Supercomputer? :-O

"Abgesehen davon, dass ich nicht weiß, wie man darauf kommt, wirkt die 7 sehr fragwürdig für mich."

7 ist tatsächlich richtig.
Binomische Formel:

(1 + \frac{1}{n})^{7} = 1 + \frac{7}{n} + (\binom{7}{2}) \frac{1}{n^{2}} + . . .

n ((1 + \frac{1}{n})^{7} - 1) = n (\frac{7}{n} + (\binom{7}{2}) \frac{1}{n^{2}} + . . .) = 7 + O (1 / n) \to 1

lim_{n} b_{n} = 1

ist aber falsch.

\prod_{k = 2}^{n} (1 - \frac{1}{k}) = \prod_{k = 2}^{n} \frac{k - 1}{k} = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{3}{4} . . . \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}

, weil alles andere sich gegenseitig kürzt. Damit hat man

0

als Grenzwert.

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15:12 Uhr, 12.01.2022

b)Die ersten Faktoren lauten:

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot ... \cdot \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}

Da kürzt sich fast alles weg.

c) . .

d)

mit

n

kürzen:

\frac{2 n}{n \cdot (\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} - 1)} = \frac{2}{1} = 2, n \to + \infty

N8eule

15:26 Uhr, 12.01.2022

d)

gilt:

>

finde zur Übung den Fehler von supporter,

>

und mach's besser durch 3.Binomische...

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15:52 Uhr, 12.01.2022

Ich korrigiere:

Nenner:

n \cdot (\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} - 1)

Der Term unter der Wurzel ist kleiner als 1. Der Nenner geht gegen

0 -

\to lim \frac{2}{0 -} = - \infty

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15:55 Uhr, 12.01.2022

"Der Term unter der Wurzel ist kleiner als 1. Der Nenner geht gegen 0−"

Nein, tut er nicht.
Du musst auch das Video schauen, was ich gepostet habe. :-)

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16:02 Uhr, 12.01.2022

\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} - 1 = \frac{\sqrt{(1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} - 1) \cdot (\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1)}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1} = \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}} - 1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1} = \frac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1}

.

Also

n \cdot (\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} - 1)

ist

\frac{1 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} + 1}

und das geht gegen

0.5

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16:07 Uhr, 12.01.2022

wolfram kommt auch auf

- \infty

.

www.wolframalpha.com/input/?i=lim+2n%2F%28%28n%5E2-n%2B2%29%5E0.5-n%29%29

Roman-22

16:10 Uhr, 12.01.2022

>

wolfram kommt auch auf −∞.
DrBoogie sprach auch nur von deinem modifizierten Nenner, BEVOR durch

n

gekürzt wird, von dem du fälschlicherweise behauptet hast, er strebe gegen "0 -".

Allerdings strebt der gegen

- 0,5,

nicht gegen

+ 0,5

. DrBoogie hat in der ersten Zeile am Ende ein Minus vor

\frac{1}{n}

verloren.

Der Nenner NACH dem Kürzen, also ohne den Faktor

n

davor, der strebt "von links" gegen 0
Und so strebt der Gesamtausdruck, dessen Grenzwert gesucht ist,natürlich, so wie Onkel Wolfram es auch sagt, gegen

- \infty

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16:26 Uhr, 12.01.2022

"Der Nenner NACH dem Kürzen, also ohne den Faktor

n

davor, der strebt "von links" gegen 0"

Das meinte ich eigentlich. Danke.

Lawliet aktiv_icon

16:44 Uhr, 12.01.2022

Danke, für die Antworten, bei der Produktformel ist es einleuchtend.
Die O-Notation ist mir zwar bekannt, aber da wir diese nicht definiert haben bis jetzt, frage ich mal vorsichtig, ob sich diese Vermeiden lässt?

Zu dem Video: Hat geholfen bei der Idee, wobei ich nicht verstehe wie er im letzten Schritt mit

n^{2}

kürzen kann und im Nenner mit

n^{4}

gelichzeitig kürzt. Leuchtet mir nicht so wirklich ein, kannst du mir sagen wieso?

Zu meiner Folge wiederum..
Wie kommt ihr von

\sqrt{n^{2} - n + 2} - n

auf

n \cdot (\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}} - 1)

?
Und wenn ich den ganzen Bruch betrachte, wäre es

2 n

oder 2 im Zähler?
Bei der 2 im Zähler würd ich zumindest die Rechnung verstehen.
Und letztendlich wenn der Nenner gegen

\frac{1}{2}

geht, geht mein Bruch insgesamt gegen

\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4

Lawliet aktiv_icon

17:00 Uhr, 12.01.2022

Mein Fehler, vergessen wir das zur Notation bei

c_{n}

ich kann es ausschreiben.

Bei

d_{n}

bin ich jedoch auch jetzt noch nicht schlauer.

Roman-22

17:17 Uhr, 12.01.2022

>

Wie kommt ihr von n2−n+2−n auf n⋅(1−1n+2n2−1)?
Man klammert aus der Summe (eigentlich Differenz)

n

aus. Das beim zweiten Sumanden

- n

dann

- 1

übrig bleibt, ist wohl klar.
Bei der Wurzel ist es so, dass man dazu IN der Wurzel

n^{2}

ausklammern muss:

\sqrt{n^{2} - n + 2} = \sqrt{n^{2} \cdot (1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}})} = (⋆)

und jetzt kann man teilweise Wurzelziehen

(⋆) = n \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{2}{n^{2}}}

>

Und wenn ich den ganzen Bruch betrachte, wäre es

2 n

oder 2 im Zähler?
VOR dem Kürzen ist er nach wie vor

2 n

. Aber da du jetzt im Nenner

n

ausgeklammert hast, kannst du

n

kürzen.
Der Zähler ist nun konstant

2,

der Nenner strebt gegen Null und zwar von links, weshalb der Grenzwert eben

- \infty

ist.
Dass der nenner von links gegen Null strebt folgt daraus, dass der Term unter der Wurzel kleiner als 1 ist (zumindest für

n \geq 3)

und somit auch der Wert der Wurzel kleiner als 1 ist und der Nenner damit immer negativ ist.

DrBoogie aktiv_icon

18:42 Uhr, 12.01.2022

"Die O-Notation ist mir zwar bekannt, aber da wir diese nicht definiert haben bis jetzt, frage ich mal vorsichtig, ob sich diese Vermeiden lässt?"

Natürlich, du kannst einfach alle 8 Summanden aus

(1 + 1 / n)^{7}

explizit aufschreiben. Dann wird es auch ohne O funktionieren. Ich war zu faul dafür.

"Zu dem Video: Hat geholfen bei der Idee, wobei ich nicht verstehe wie er im letzten Schritt mit n2 kürzen kann und im Nenner mit n4 gelichzeitig kürzt."

Im Nenner wird auch durch

n^{2}

gekürzt. Da steht

n^{4}

unter der Wurzel. Und wenn du

\sqrt{n^{4} + 5 n^{2}}

durch

n^{2}

teilst, dann ist es dasselbe wie durch

\sqrt{n^{4}}

zu teilen.

michaL aktiv_icon

19:02 Uhr, 12.01.2022

Hallo miteinander,

die Grenzwerte habt ihr (im großen und ganzen) ja im Griff.
Daher etwas OT:
@Roman-22:
Wie hast du das mit dem schicken Zitat gemacht in deinem posting um 16:10 Uhr, 12.01.2022?

Mfg Michael

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