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Grenzwertsätze

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

MathMP

14:46 Uhr, 25.01.2019

Frage zu den Grenzwertsätzen. Mir ist der normale Vorgang also bei gebrochen rationale Folgen klar

\to

höchsten Exponent ausklammern

/ lim n \to

unendlich gehen lassen. Jedoch habe ich Probleme mit Folgen, welche nicht gebrochen rational sind was darf ich dort ausklammern. Eine Fallunterscheidung mit Auflistung wäre mir äußerst hilfreich.

zb. geometrische Folge an=

\frac{7^{n} - 1^{n}}{n + {(- 1)}^{n} + 3^{2 n}}

wie geht man dort mit Grenzwertsätzen vor wenn man den Grenzwert finden muss.

oder Wurzelfolge:

an=

n \sqrt{e^{n} - 4^{n} + 2}

oder auch sinusfolge:

an=

n^{3} \cdot sin (\frac{1}{7 n})

wie kann man Grenzwert derartiger Folgen mittels Grenzwertsätzen bestimmen?
irgendetwas ausklammern ?? wie geht man da vor?

Danke

HAL9000

15:55 Uhr, 25.01.2019

In Summen/Differenzen identifiziert man das am stärksten wachsende Element. Ein paar wichtige Eigenschaften dazu:

a) Exponentialfunktionen

a^{n}

mit

a > 1

wachsen schneller als JEDE Polynomfunktion in

n

. Genauso wächst jede Potenzfunktion

x^{α}

mit

α > 1

schneller als die Logarithmusfunktion.

b) Exponentialfunktionen

a^{n}

wächst betragsmäßig schneller als

b^{n}

, sofern

∣ a ∣ > ∣ b ∣

.

c) Bei sin/cos hilft oft deren betragsmäßige Beschränktheit durch 1.

Im ersten Beispiel (welches KEINE geometrische Folge darstellt!) bedeutet das: Im Zähler ist

7^{n}

der dominante Term, im Nenner

3^{2 n} = 9^{n}

. Das ergibt

lim_{n \to \infty} \frac{7^{n} - 1^{n}}{n + (- 1)^{n} + 3^{2 n}} = lim_{n \to \infty} \frac{7^{n}}{9^{n}} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{7})}^{n}}{\frac{n + (- 1)^{n}}{9^{n}} + 1} = lim_{n \to \infty} \frac{7^{n}}{9^{n}} \cdot lim_{n \to \infty} \frac{1 - {(\frac{1}{7})}^{n}}{\frac{n + (- 1)^{n}}{9^{n}} + 1} = 0 \cdot 1 = 0

Das zweite Beispiel ist Murks, weil für

n \geq 2

schließlich

e^{n} - 4^{n} + 2 < 0

gilt und damit die Wurzel undefiniert ist. Hast du dir das Beispiel selbst ausgedacht?

Beim dritten Beispiel braucht man ein wenig Kenntnis der Sinusfunktion: So gilt für

0 \leq x \leq \frac{π}{2}

die Abschätzung

\sin (x) \geq \frac{2}{π} x

, das führt hier zu

n^{3} \cdot \sin (\frac{1}{7 n}) > \frac{2}{7 π} n^{2}

und damit letztlich Divergenz.

> Eine Fallunterscheidung mit Auflistung wäre mir äußerst hilfreich.

Da kommt man vom hundertsten ins tausendste. Nein, viele viele Beispiele anschauen, die Methoden (o.g. und auch andere) mitunter auch kombinieren, so wird was draus. Ein riesiges Schema F erstellen, was man dann nur noch stur zu befolgen braucht, wird oft gewünscht - von mir bekommst du es nicht, aus den genannten und anderen Gründen.

MathMP

17:39 Uhr, 25.01.2019

Danke für die Antwort. Hat mir sehr weitergeholfen. Könnte man als zusätzliche Feststellung sagen, das

n!

schneller wächst als jede Exponentialfunktion?

also ist die "Taktik", das man schaut was die am stärksten wachsende Komponente ist

\to

diese klammert man dann aus und berücksichtigt Regeln wie

2^{n}

wächst langsamer als beispielsweise

7^{n}

.

Fragen:

1 .)

wenn eine

e^{n}

in einer Folge steht und zb

2^{n},

ist dann auch beim ausklammern zb

e^{n} + 2^{n}

dann muss man

e^{n}

ausklammern da

e = 2,718 ... ... ... . .

. ?

Frage

2 .)

Könnte man als zusätzliche Feststellung sagen, das

n!

schneller wächst als jede Exponentialfunktion?

Frage

3 .)

Könntest mir das sinusbeispiel etwas erläutern ? ich weiß das

\frac{π}{2}

der höchste

x

Wert ist aber ich verstehe das abschätzen nicht, bzw wie du das gemacht hast..

Danke und Lg

HAL9000

18:50 Uhr, 25.01.2019

1) Ja, wegen

e > 2

wächst

e^{n}

stärker als

2^{n}

.

2) Bei

n!

hilft die Betrachtung der Stirlingschen Formel

n! \approx \sqrt{2 π n} \cdot {(\frac{n}{e})}^{n}

, um das Wachstum für

n \to \infty

einzuschätzen. Und ja, das ist stärkeres Wachstum als jedes

a^{n}

.

3) Zeichne doch mal in ein Koordinatensystem die beiden Funktionen

\sin (x)

sowie

\frac{2}{π} \cdot x

ein, und konzentriere dich dabei nur auf das Intervall

[0, \frac{π}{2}]

. Fällt dir was auf?

MathMP

12:35 Uhr, 27.01.2019

Danke für die Klarstellungen.

1 .)

an=

n \sqrt{e^{n} - 1^{n} + 2} = n \sqrt{e^{n} \cdot (1 - \frac{1^{n}}{e^{n}} + \frac{2}{e^{n}})}

also bleibt

n {\sqrt{e}}^{n}

stehen, ( mit dem

n

davor meine ich die

n -

te Wrzel nicht

n \cdot)

also bleibt an

= n {\sqrt{e}}^{n}

wenn

n

gegen unendlich geht kommt dann meiner Meinung nach 1 heraus als Grenzwert stimmt das?

2 .)

an=

{ln (2 + \frac{3}{4 n})}^{n} = {ln (2 + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{n})}^{n}

wie ginge es dann weiter?

Danke und lg

Respon

12:51 Uhr, 27.01.2019

\to

"also bleibt

a_{n} = \sqrt[n]{e^{n}}

wenn

n

gegen unendlich geht kommt dann meiner Meinung nach 1 heraus als Grenzwert stimmt das?"
Ich habe mir die oberen Beiträge nicht angesehen, aber
was ist denn

\sqrt[n]{e^{n}}

?

ad

2)

Deine Schreibweise besagt eigentlich, dass

n

der Exponent des Logarithmus ist und nicht des Arguments. Ist das so beabsichtigt ?

{ln (a)}^{n} = {(ln (a))}^{n} \neq ln (a^{n})

MathMP

15:48 Uhr, 27.01.2019

Ja ist auch der Exponent von

ln

.
Wie könnte man das lösen?

Ich denke das

n {\sqrt{e}}^{n}

wenn

n

gegen unendlich geht 1 ist ?!

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16:33 Uhr, 27.01.2019

n-te Wurzel aus

e^{n} = {(e^{n})}^{\frac{1}{n}} = e^{1} = e

MathMP

17:40 Uhr, 28.01.2019

Danke!

Bei der Folge mit

ln

komme ich dennoch nicht weiter.

an=

{ln (2 + \frac{3}{4 n})}^{n}

Wäre super wenn sich das mal wer anschauen könnte bzw. schrittweises Vorgehen wenn

ln

vorkommt.
Danke lg

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19:18 Uhr, 28.01.2019

{ln (2 \cdot \frac{3}{4 n})}^{n} = n \cdot ln (2 + \frac{3}{4 n})

Das Argument des

ln

geht gegen 2 für

x \to \infty

godzilla12 aktiv_icon

20:54 Uhr, 28.01.2019

In deinem ersten Beispiel kürzt du durch die größte Basis, und das ist 9 (Im Exponenten darf nur

n

stehen, nicht

4711 n + 123)

a_{n} = \frac{{(\frac{7}{9})}^{n} - 1^{n} \cdot 9^{- n}}{n \cdot 9^{- n} + {(- 1)}^{n} \cdot 9^{- n} + 1} (1)

Da wie gesat die e-funktion jedes Polynom unterdrückt, geht der Zähler gegen Null so wie der Nenner gegen Eins; Grenzwert ist Null.

Dein zweites Beispiel rate ich dir übrigens dringend zu reparieren. irgendwann ist

4^{n} > e^{n};

und Wiki weist warnend darauf hin, dass Wurzeln aus negativen Zahlen grundsätzlich undefiniert seien - gleichgültig ob nun

n

gerade oder ungerade. Und so weit ich das beurteilen kann, ist bei dir ein gerades

n

ja nicht ausgeschlossen.
Dein Sinusbeispiel ist übrigens trivial; sinus ist beschränkt, und

n

geht gegen Unendlich.

Respon

21:34 Uhr, 28.01.2019

a_{n} = {ln (2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n}

Um Missverständnisse zu vermeiden, muss das Argument des Logarithmus grundsätzlich in Klammer geschrieben werden.

z . B

ln 3 \cdot 4

Bedeutet das, dass der Logarithmus von 3 mit 4 multipliziert wird oder der Logarithmus von

3 \cdot 4

gebildet werden soll ?

Deine Schreibweise besagt eigentlich

{ln (2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n} = {[ln (2 + \frac{3}{4 \cdot n})]}^{n} = l n^{n} (2 + \frac{3}{4 \cdot n})

Es wird also die

n - t e

Potenz des Logarithmus von

2 + \frac{3}{4 \cdot n}

gebildet.

Aber vielleicht meinst du das:

ln [{(2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n}]

In diesem Fall bildet man den Logarithmus der

n - t e n

Potenz von

2 + \frac{3}{4 \cdot n}

In einem Fall hätten wir

\to \infty,

im anderen

\to 0

MathMP

20:36 Uhr, 29.01.2019

Ich meinte die n-te Potenz des Logarithmus von

2 + \frac{3}{4 \cdot n}

also

ln ({(2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n})

also als Grenzwert muss dann

ln (2)

rauskommen nicht? weil ja

\frac{3}{4 \cdot n}

null ist wenn

n

gegen unendlich geht..

Respon

20:40 Uhr, 29.01.2019

ln ({(2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n})

ist der Logarithmus der

n -

ten Potenz von

2 + \frac{3}{4 \cdot n}

und nicht die

n -

te Potenz des Logarithmus.

MathMP

20:46 Uhr, 29.01.2019

Hoppla, jedenfalls meinte ich

ln ({(2 + \frac{3}{4 n})}^{n})

also bleibt

{ln (2)}^{n} \to

unendlich

?

Respon

20:49 Uhr, 29.01.2019

Nein, so geht das nicht. Du läßt zwar das

n

in der Klammer gegen

\infty

gehen, läßt es aber außerhalb der Klammer unverändert. Beide

n

gehen gleichzeitig gegen

\infty

MathMP

20:58 Uhr, 29.01.2019

Ja ich weiß, wollte das nur so für mich verdeutlichen... Das es unendlich groß wird sprich divergiert stimmt aber oder?

Respon

21:00 Uhr, 29.01.2019

Solange du denkst und es nicht hinschreibst...
Schreibweise beachten

{ln (2)}^{n} :

wie heißt hier das Argument des Logarithmus ?

MathMP

21:10 Uhr, 29.01.2019

2 ist es.

Respon

21:14 Uhr, 29.01.2019

Die Logarithmusfunktion ist eine stetige, streng monoton wachsende Funktion.
Es gilt daher

lim_{n \to \infty} ln ({(2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n}) = ln (lim_{n \to \infty} {(2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n})

lim_{n \to \infty} {(2 + \frac{3}{4 \cdot n})}^{n} = + \infty

\Rightarrow . .

.

So, Schlafenszeit beginnt - offline

MathMP

21:16 Uhr, 29.01.2019

Danke

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