Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Grenzwertuntersuchung

Grenzwertuntersuchung

Universität / Fachhochschule

Tags: Grenzwert

gonnabeph aktiv_icon

13:41 Uhr, 30.01.2015

Hallo, ich soll folgende Grenzwerte untersuchen:

a)

lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{x - \sin (x)}

lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (π x)}{(1 - e^{x})^{2}}

lim_{x \to 0} x^{x}

Meine Ideen:

a)
Hier habe ich 2 mal L'Hospital angewendet und lande dann bei:

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \cot (x)

Jetzt weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter ...

b) Hier könnte man mit L'Hospital loslegen. Ich dachte mir allerdings da

\sin (π x) = 0

gilt lässt sich das ganze auch umschreiben zu:

lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (π x}{(1 - e^{x})^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{0 \cdot 0}{(1 - e^{x})^{2}} = lim_{x \to 0} 0 = 0

c) Dies lässt sich umschreiben

lim_{x \to 0} x^{x} = lim_{x \to 0} e^{l n (x) x}

und nun den Exponenten mit L'Hospital untersuchen. Ich erhalte dann:

lim_{x \to 0} x^{x} = lim_{x \to 0} e^{l n (x) x} = e^{0} = 1

Danke soweit! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Grenzwerte - Linksseitiger/rechtsseitiger Grenzwert an einer Polstelle
Grenzwerte - Verhalten im Unendlichen
Grenzwerte im Unendlichen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Grenzwert einer Funktion

Wie bestimmt man den Grenzwert einer Funktion?

Grenzwert mit l'Hospital bestimmen

Wie bestimmt man einen Grenzwert mit der Regel von l'Hospital?

Wie bestimmt man einen Grenzwert, bei dem

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

herauskommt?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Bummerang

13:49 Uhr, 30.01.2015

Hallo,

bei

a)

braucht man einen linken und einen rechten Grenzwert! Bei

b)

ist

x

nicht ganzzahlig und

c)

stimmt!

matusema aktiv_icon

13:50 Uhr, 30.01.2015

a)

leite es ein 3tes Mal ab, dann sollte es klar sein.

b)

hab ich jetzt nicht genauer angeschaut, aber du hast außer Acht gelassen, dass auch der Nenner 0 ist und 0 durch 0 muss nicht gegen 0 laufen.

c)

sieht richtig aus.

DrBoogie aktiv_icon

13:54 Uhr, 30.01.2015

"Jetzt weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter"

Du hast

1 / 0

, also gibt's keinen Grenzwert (auch keinen unendlichen, denn links von

0

geht es gegen

- \infty

, rechts gegen

+ \infty

).

Bei b) kannst Du so nicht machen.

c) ist OK, wenn

lim_{x \to 0} x \ln (x) = 0

bekannt ist.

gonnabeph aktiv_icon

14:07 Uhr, 30.01.2015

Ich habe bei der a) doch

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}

und das ist eingesetzt

\frac{1}{0}

und da lässt sich doch L'Hospital garnicht mehr anwenden?

b) Ja, stimmt da kann ich das garnicht umschreiben. Neue Idee:

lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (π x}{(1 - e^{x})^{2}}

jetzt L'Hospital angewendet:

lim_{x \to 0} \frac{2 π \sin (π x) \cos (π x) \cdot}{- 2 (1 - e^{x}) e^{x}}

Ich hoffe mal die Ableitung passt. Jetzt weiß ich das gilt

\sin (x) \cdot \cos (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x)

. Das eingesetzt erhalte ich:

lim_{x \to 0} \frac{2 π \frac{1}{2} \sin (2 π x)}{- 2 (1 - e^{x}) e^{x}} = lim_{x \to 0} \frac{π \sin (2 π x)}{- 2 (1 - e^{x}) e^{x}} = = lim_{x \to 0} \frac{π \sin (2 π x)}{- 2 e^{x} + 2 e^{2 x}}

Jetzt nochmal L'Hospital angewendet:

= lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 π x) π^{2}}{- e^{x} + 2 e^{2 x}} = π^{2}

Passt das?

Bummerang

14:17 Uhr, 30.01.2015

Hallo,

die

b)

passt jetzt und jetzt kannst Du mal bei

a)

sehen, was passiert, wenn man eine Aufgabe so lange nicht beantwortet. Dann kommt nach der ersten korrekten Antwort schon mal eine zweite falsche Antwort und wenn dann noch eine dritte Antwort kommt, die letztendlich die erste richtige Antwort bestätigt und die zweite falsche Antwort kommentiert, dann hast Du Schwierigkeiten, das zu verstehen. Das ist genau das, wovor ich Dich in einem anderen Thread warnen wollte! Parallelisiere nicht so viel!!!

gonnabeph aktiv_icon

14:25 Uhr, 30.01.2015

Alles klar! Wie kann ich mir das bei der a) denn deutlich machen? Klappt das nur wenn ich den Definitionsbereich des Kotangens auswendig weiß? Ich meine in der Klausur steht man dann da wenn man den nicht auswendig kennt.

Danke! :-)

Bummerang

14:28 Uhr, 30.01.2015

Hallo,

ohne den Kotangens explizit zu kennen, muss man halt, und das ist bei Dir sicher so, den Sinus und den Kosinus kennen. Und da findet beim Sinus ein Vorzeichenwechsel statt, beim Kosinus nicht!

gonnabeph aktiv_icon

14:55 Uhr, 30.01.2015

Alles klar, vielen Dank für die Hilfe! :-)

1214511

1214484

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?