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Größter Häufungspunkt

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

JellBell aktiv_icon

05:18 Uhr, 07.12.2015

Hallo, bin neu hier und hoffe, dass ich meine Mathe-Kenntnisse verbessere :-)

Ich habe diesen Satz in meinem Buch gefunden aber verstehe nicht den Beweis. Der Satz besagt:

Jede nach oben beschränkte Folge

a_{n}

besitzt genau eine der beiden folgenden
Eigenschaften:
(i)

a_{n}

besitzt einen größten Häujungspunkt.
(ii)

a_{n}

divergiert bestimmt gegen

- \infty

In beiden Fällen gilt:

\underset{n \to \infty}{limsup} a_{n} = \underset{n \to \infty}{limsup} {a_{m} : m \geq n}

(5.14)

BEWEIS: Wir nehmen an, dass die Folge

(a_{n})

nach oben beschränkt ist und definieren

b_{n} := s u p {a_{m} : m \geq n}

n \in ℕ

Offenbar ist die Folge

(b_{n})

monoton fallend. Ist sie nach unten beschränkt, so konvergiert sie gemäß Monotoniesatz. Anderenfalls gilt

lim b_{n} = - \infty

. Der zweite Fall ist einfach zu erledigen. Dann existiert nämlich für jedes

C \in ℝ

ein

n_{0} \in ℕ

mit

b_{n} \leq C

für jedes

n \geq n_{0}

. Damit gilt auch

a_{n} \leq C

für alle

n \geq n_{0}

, d.h. definitionsgemäß

lim a_{n} = - \infty

. Folglich hat

(a_{n})

keinen Häufungspunkt

-1. FRAGE: Wieso wissen wir, dass es keinen Häufugspunkt gibt? Ist es weil

lim b_{n} = - \infty

?-,

und es gilt (5.14). Wir wenden uns jetzt dem wichtigeren Fall:

b := lim b_{n} > - \infty

zu. Der Grenzwert

b

hat die beiden folgenden Eigenschaften:

(i) Zu jedem

ε > 0

gibt es ein

n_{1} \in ℕ

mit

a_{n} \leq b + ε

n \geq n_{1}

.

(ii) Zu jedem

ε > 0

gibt es unendlich viele

n \in ℕ

mit

a_{n} \geq b - ε

.

Die erste Eigenschaft folgt aus

b_{n} \leq b + ε

für jedes genügend große

n

und die zweite Eigenschaft aus

b_{n} \geq b - ε / 2

für jedes genügend große

n

und der Definition des Supremums

-2.FRAGE: Ich verstehe nicht, wie wir (ii) erhalten haben. Die Erklärung "die zweite Eigenschaft aus

b_{n} \geq b - ε / 2

" verstehe ich leider nicht-.

Mittels dieser beiden Eigenschaften ist es einfach, eine Teilfolge

(a_{n_{j}})

von

(a_{n})

mit der folgenden Eigenschaft zu konstruieren:

b - 1 / j \leq a_{n_{j}} \leq b + 1 / j

j \in ℕ

-3.FRAGE: Ich Warum können wir diese

a_{n_{j}}

definieren? Die Ungleichungen sehen wie die Definition von Limes von

a_{n_{j}}

aus ...-

Daraus folgt

a_{n_{j}} \to b

für

j \to \infty

. Somit ist bein Häufungspunkt von

(a_{n})

. Es bleibt noch zu zeigen, dass

b

der größte Häufungspunkt ist. Seien dazu

a_{m_{j}}

eine gegen

a \in ℝ

konvergente Teilfolge von

(a_{n})

und

ε > 0

. Aus Eigenschaft (i) folgt

a_{m_{j}} \leq b + ε

für jedes genügend große

j \in ℕ

und damit auch

a \leq b + ε

. Weil

ε > 0

beliebig war, folgt

a \leq b

-4.FRAGE: Wie folgt

a \leq b

aus

a \leq b + ε

-.

Also ist

b

tatsächlich der größte Häufungspunkt von

(a_{n})

.

Kann jemand mir bitte helfen? Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

08:33 Uhr, 07.12.2015

"-1. FRAGE: Wieso wissen wir, dass es keinen Häufugspunkt gibt?"

Wenn es einen Häufungspunkt

a

geben würde, müsste nach Definition eine Teilfolge

a_{n_{i}}

existieren, die gegen

a

konvergiert. Andererseits, wenn

a_{n} \to - \infty

, dann auch

a_{n_{i}} \to - \infty

, aber

a_{n_{i}}

kann nicht gleichzeitig gegen

a

und

- \infty

konvergieren.

"-2.FRAGE: Ich verstehe nicht, wie wir (ii) erhalten haben."

b_{n} \to b

=> für jedes

ε > 0

existiert

n_{0}

, so dass

b - ε < b_{n} < b + ε

für alle

n \geq n_{0}

. Nehmen jetzt an, dass es zu einem bestimmte

ε_{0}

nur endlich viele

a_{n}

's existieren, so dass

a_{n} \geq b_{n} - ε_{0}

. Dann gäbe es ein

n_{1}

, so dass

a_{n} < b_{n} - ε_{0}

für alle

n \geq n_{1}

. Dann würde für

b_{n} = sup {a_{m} : m \geq n}

gelten

b_{n} \leq b - ε_{0}

für alle

n \geq n_{1}

. Nehmen

n_{2} = max {n_{0}, n_{1}}

. Dann müsste für

n \geq n_{2}

beides gelten:

b - ε_{0} < b_{n}

und

b_{n} \leq b - ε_{0}

. Das geht nicht, dieser Widersrpuch zeigt, dass die Annahme falsch war, also muss es für jedes

ε > 0

unendlich viele

a_{n}

's existieren, so dass

a_{n} \geq b_{n} - ε_{0}

.

"-3.FRAGE: Ich Warum können wir diese anj definieren?"

Komische Frage. Weil wir sie direkt definieren.
Wir wissen: für jedes

ε > 0

existieren unendlich viele

n

's, so dass

b - ε \leq a_{n} \leq b + ε

, das ist gerade bewiesen worden. Nehmen jetzt

ε := 1 / j

. Es gibt dann ein

n_{j}

, so dass

b - 1 / j \leq a_{n_{j}} \leq b + 1 / j

(eigentlich sogar unendlich viele

n_{j}

's, aber es reicht eins).

"-4.FRAGE: Wie folgt

a \leq b

aus

a \leq b + ε

"

Grenzüberganz

ε \to 0

. Oder indirekter Beweis: wäre

a > b

, so könnte man ein

ε > 0

finden, dass

a > b + ε

, das wäre ein Widerspruch.

JellBell aktiv_icon

19:18 Uhr, 08.12.2015

Vielen Dank für die Antworten!

Was ich leider noch nicht verstehe ist, was ich in der 3. Frage kommentiere. Wie du sagts wir haben die zwei Eigenschaften

(i)

und (ii) beweisen. Aber die zwei zusammen sind nicht äquivalent zu der Definition von Grenzwert (ok, die

(i)

schon aber nur fur den Teil

a_{n} \leq b - ε

bzw. die Hälfte der Definition) aber (ii) ist nicht äquivalent zu

b - ε \leq a_{n}

. Dann warum gilt

b - \frac{1}{j} < a_{n_{j}}

? Du sagst, dass wir es direkt definieren. Dann die Frage wäre: Wie können wir eine Teilfolge definieren, die gegen

b

konvergiert? Danke!

DrBoogie aktiv_icon

20:36 Uhr, 08.12.2015

"Aber die zwei zusammen sind nicht äquivalent zu der Definition von Grenzwert"

Natürlich nicht. Die Folge an sich muss auch nicht konvergent sein. Aber sie hat eine Teilfolge, welche konvergiert.

"Dann warum gilt

b - 1 / j < a_{n_{j}}

?"

Weil die Eigenschaft ii) uns sagt, dass für jedes

ε > 0

unendlich viele Indizes

n

mit der Eigenschaften

b - ε < a_{n}

existieren. Also auch für

ε = 1 / j

existieren unendlich viele Indizes

n

mit der Eigenschaften

b - 1 / j < a_{n}

. Wenn unendlich viele, dann bestimmt können wir auch ein Index finden. Wir nennen ihn

n_{j}

. Alles.

"Dann die Frage wäre: Wie können wir eine Teilfolge definieren, die gegen b konvergiert?"

Das wird durch die Wahl von

n_{j}

wie oben geschrieben gerade getan.

JellBell aktiv_icon

20:48 Uhr, 08.12.2015

Dann ist

a_{n_{j}}

keine Folge sondern nur ein einziges Element von

a_{n}

DrBoogie aktiv_icon

21:11 Uhr, 08.12.2015

Für jedes

j

ein Element. Aber es gibt unendlich viele

j

's.
Hast Du nie gelesen/gesehen, wie man Teilfolgen definiert? Es muss doch etwas darüber in Vorlesungen gewesen sein.

Kuck mal. Für

j = 1

nehmen wir

ε = 1 / j = 1

. Wir wissen, dass es unendlich viele

n

's gibt, so dass

b - 1 / j = b - 1 < a_{n}

gilt. Wir picken so ein

n

, nennen es

n_{1}

und haben also

b - 1 < a_{n_{1}}

. Wir gehen weiter. Für

j = 2

nehmen wir

ε = 1 / j = 1 / 2

. Wir wissen, dass es unendlich viele

n

's gibt, so dass

b - 1 / 2 < a_{n}

gilt. Insbesondere gibt's auch unendlich viele

n

's gibt, so dass

b - 1 / 2 < a_{n}

gilt und zusätzlich noch

n > n_{1}

. Wir picken so ein

n

, nennen es

n_{2}

und haben also

b - 1 / 2 < a_{n_{2}}

. Noch ein Schritt. Für

j = 3

nehmen wir

ε = 1 / j = 1 / 3

. Wir wissen, dass es unendlich viele

n

's gibt, so dass

b - 1 / 3 < a_{n}

gilt. Insbesondere gibt's auch unendlich viele

n

's gibt, so dass

b - 1 / 2 < a_{n}

gilt und zusätzlich noch

n > n_{2}

. Wir picken so ein

n

, nennen es

n_{3}

und haben also

b - 1 / 3 < a_{n_{3}}

. Usw.
So entsteht eine Folge von Indizes

n_{1} < n_{2} < n_{3} < . . .

, welche eine Teilfolge

a_{n_{j}}

j = 1, 2, 3, . . .

definiert. Und diese Teilfolge hat nach Konstruktion die Eigenschaft

b - 1 / j < a_{n_{j}}

JellBell aktiv_icon

22:01 Uhr, 08.12.2015

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Jetzt ist es klar. Ich weiss wie man eine Teilfolge definiert, wusste leider aber nicht, wie konnten wir Eigenschaften

(i)

und (ii) verwenden, um eine neue Teilfolge konstruieren, die gegen

b

konvergiert. In Bezug auf Konvergenz, is es genug, dass

| a_{n_{j}} - b | < \frac{1}{j}

für unendliche viele

n_{j}

gilt, um zu zeigen, dass

a_{n_{j}}

gegen

b

konvergiert? Ich habe über Grenzwert von Folgen gelernt aber unter der Definition "

a_{n_{j}}

konvergiert gegen

b

WENN

\forall ε > 0, \exists N

so dass

| a_{n_{j}} - b | < ε

für

n_{j} \geq N

" Danke nochmal :-)

DrBoogie aktiv_icon

22:07 Uhr, 08.12.2015

Du kannst auch ganz sauber, mit

ε

, beweisen, dass

lim_{j \to \infty} a_{n_{j}} = b

.
Was ist gezeigt:

∣ a_{n_{j}} - b ∣ < 1 / j

.
Sei jetzt

ε > 0

. Nehmen

j_{0}

so, dass

1 / j_{0} < ε

.
Dann gilt für jedes

j \geq j_{0}

∣ a_{n_{j}} - b ∣ < 1 / j \leq 1 / j_{0} < ε

JellBell aktiv_icon

23:35 Uhr, 08.12.2015

WOW Das war super! VIELEN dANK @DrBoogie. Das heisst dann, dass

| a_{n_{j}} - b | < \frac{1}{j}

nicht genug ist (jedoch eine grosse Hilfe), um beweisen zu können, dass

a_{n_{j}}

gegen

b

konvergiert oder? Ganz im ernst vielen Dank :-)

DrBoogie aktiv_icon

09:54 Uhr, 09.12.2015

"Das heisst dann, dass ∣∣anj−b∣∣<1j nicht genug ist (jedoch eine grosse Hilfe), um beweisen zu können, dass anj gegen b konvergiert oder?"

Wieso nicht genug? :-O
Genug, um zu beweisen, dass

a_{n_{j}} \to b

. Ich hab's doch gemacht.

JellBell aktiv_icon

14:45 Uhr, 09.12.2015

Ich wollte nur fragen ob

| a_{n_{j}} - b | < \frac{1}{j}

äquivalent als

a_{n_{j}}

konvergiert gegen

b

(| a_{n_{j}} - b | < \frac{1}{j})

hilft uns um zu beweisen, dass

a_{n_{j}}

gegen

b

konvergiert.

(| a_{n_{j}} - b | < \frac{1}{j})

bedeutet aber nicht unmittelbar, dass

a_{n_{j}}

gegen

b

konvergiert oder?

DrBoogie aktiv_icon

14:58 Uhr, 09.12.2015

Wenn eine Tatsache etwas "zu beweisen hilft", dann impliziert sie auch automatisch das, was bewiesen wird. Also ist damit auf jeden Fall wahr:

∣ a_{n_{j}} - b ∣ < 1 / j

für alle

j

a_{n_{j}} \to b

.
Umgekehrt muss es nicht stimmen. Also ist das keine Äquivalenz.
Grob gesagt, definiert

∣ a_{n_{j}} - b ∣ < 1 / j

eine "Art" der Konvergenz. Es gibt aber auch andere "Arten". Z.B.

∣ a_{n_{j}} - b ∣ < 1 / \sqrt{j}

würde auch Konvergenz bedeuten, aber diese Konvergenz wäre sozusagen "langsamer" als bei

∣ a_{n_{j}} - b ∣ < 1 / j

JellBell aktiv_icon

15:01 Uhr, 09.12.2015

Ach so, vielen Dank für die Erklärungen und die Geduld DrBoogie :-)

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