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Größter gemeinsamer Teiler

Universität / Fachhochschule

Tags: Ring

anonymous

20:57 Uhr, 11.01.2020

Hallo,
Ich möchte folgende Aussage beweisen:
Falls x,y e R-{0} existiert, sodass 1=xr+ys, so folgt ggt(r,s)=1.

Beweis: Sei d=ggt(r,s)
--> d teilt r und d teilt s --> d teilt xr und d teilt ys --> d teilt xr+ys=1
-->d teilt 1 --> d ist eine Einheit
Soweit habe ich alles verstanden..
warum folgt nun:
ggt(r,s)=1 ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

michaL aktiv_icon

21:30 Uhr, 11.01.2020

Hallo,

liste hier alle Teiler von 1 auf!

Mfg Michael

anonymous

21:41 Uhr, 11.01.2020

Hallo,
also die Teiler von 1 sind zum Beispiel die 1 selber
oder 1=d*d^(-1) --> d/1

Ich weiß nicht worauf du hinaus möchtest...

michaL aktiv_icon

21:50 Uhr, 11.01.2020

Hallo,

wenn es also

x

y

gibt, sodass

1 = x r + y s

gilt, dann ist jeder gemeinsame Teiler von

r

und

s

auch ein Teiler von 1.

Mfg Michael

anonymous

21:57 Uhr, 11.01.2020

Jaa..
und ein gemeinsamer Teiler von r und s ist d --> d/1.
Soo und nun ?
Darf ich bereits annehmen, dass 1/1 --> also 1/rx+sy ?
Und weil d/1 --> ggt(rx+sy)=1

Warum dann das Argument mit der Einheit?!

michaL aktiv_icon

22:06 Uhr, 11.01.2020

Hallo,

oi, das ist wirklich nicht schwierig!

Wenn es Zahlen

x

y

gibt, sodass

1 = x r + y s

gilt, sp folgt für JEDEN Teiler

d ∣ r, s

(also jeden GEMEINSAMEN Teiler von

r

und

s

), dass

d ∣ 1

.
Da nur

1 ∣ 1

gitl, folgt also

d = 1

für JEDEN GEMEINSAMEN Teiler von

r

und

s

, d.h. es gilt

ggT (r, s) = 1

, da

r

und

s

offenbar ja nur den gemeinsamen Teiler 1 haben. Das ist dann offenbar auch zugleich der größte gemeinsame Teiler.

Mfg Michael

anonymous

22:24 Uhr, 11.01.2020

Danke,
jetzt habe ich es verstanden!
Ich habe gar nicht mehr daran gedacht, dass wir im euklidischen Ring sind und somit wenn d eine Einheit ist d eben nur 1 sein kann!

anonymous

22:31 Uhr, 11.01.2020

Eine Frage aber dann doch noch zu dem Thema,
in der VL haben wir bereits gesagt, dass man den ggt(r,s) folgendermaßen darstellen kann ggt(r,s)=ar+bs
Und mit dem Beweis haben wir ja quasi gezeigt, dass die Rückrichtung auch gilt, aber eben nur in dem Fall ar+bs=1
oder?

michaL aktiv_icon

22:40 Uhr, 11.01.2020

Hallo,

sei

d := ggT (r, s) > 1

.
Dann betrachten wir

r ʹ := \frac{r}{d}

s ʹ := \frac{s}{d}

.
Dann folgt

ggT (r ʹ, s ʹ) = 1

, d.h. es gibt

x, y

mit

1 = x r ʹ + y s ʹ = x \frac{r}{d} + y \frac{s}{d}

.
Multiplizere mit

d

, dann hast du es.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

22:47 Uhr, 11.01.2020

Hallo,
ich habe mal kurz hier reingeschaut und nicht verstanden, wieso
z.B. im bekanntermaßen euklidischen Ring der ganzen Gausschen Zahlen
z.B. ggT

(1 + i, 1 + i) > 1

sein soll, der Ring besitzt doch gar keine Anordnung ...
Gruß ermanus

anonymous

22:53 Uhr, 11.01.2020

Ne, das ist richtig.
Die Definition besagt:
Ein größter gemeinsamer Teiler von x und y ist ein gemeinsamer Teiler d von x und y, so dass für jeden anderen gemeinsamen Teiler e von x und y gilt: e|d. Wir schreiben auch d = ggT(x,y)

ermanus aktiv_icon

22:55 Uhr, 11.01.2020

Dieser Definition stimme ich ja zu, aber aus

a ∣ b

folgt doch in einem
beliebigen euklidischen Ring keineswegs

a \leq b

michaL aktiv_icon

22:55 Uhr, 11.01.2020

Hallo,

ich habe angenommen, dass es hier um

(ℤ, +, 0, -, \cdot, 1)

geht.
Wenn nicht, wäre es gut, alle Grundlagen hier auch aufzuschreiben.
Noch besser sind Scans der Originalaufgabenstellung!

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

22:59 Uhr, 11.01.2020

@Michael: das habe ich zunächst auch gedacht, aber so langsam kamen mir
Zweifel ;-)
Zumindest sollte die Fragestellerin uns mitteilen, was

R

sein soll ..

Insbesondere steht in ihrer Definitipn: "ein (!) größter gemeinsamer Teiler ist ..."
Daraus schloss ich, dass es "den (!) größten gmeinsamen Teiler" vielleicht gar nicht
gibt.

anonymous

23:09 Uhr, 11.01.2020

R ist ein euklidischer Ring...

ermanus aktiv_icon

23:52 Uhr, 11.01.2020

Dadurch, dass du uns das nicht mitgeteilt hast, hast du Michael
unnötig Zeit geraubt. Daher die Lehre für dein "mathematisches Leben":
Bei math. Texten, die jemand anders verstehen soll, bitte alle
Symbole und Buchstaben erklären, die nicht einer internationalen
Norm, wie etwa "

ℤ

" o.ä., unterliegen.

Nun zu: "warum folgt nun: ggt(r,s)=1 ?"
du weißt ja bereits, dass für jeden gemeinsamen Teiler

e

von

r

und

s

gilt

e ∣ 1

. Nun ist auch

d = 1

ein gemeinsamer Teiler von

r

und

s

und dieser wird von

e

geteilt. Es liegt also die Situation
von deinem Beitrag um 22:53 Uhr vor, folglich ist nach jener Definition

1 = g g T

(r,s)

.

Gruß ermanus

anonymous

07:24 Uhr, 12.01.2020

Ich hätte aber gerne gewusst warum das direkt aus dem inversen folgt ?

ermanus aktiv_icon

08:11 Uhr, 12.01.2020

Meinst du die Aussage

d ∣ 1 \overset{}{\Leftrightarrow} d \in R^{*}

?
Hier bedeute

R^{*}

die Gruppe der Einheiten von

R

.
Gruß ermanus

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