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Größter gemeinsamer Teiler

Universität / Fachhochschule

Tags: Ring

 
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t-bus

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20:57 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,
Ich möchte folgende Aussage beweisen:
Falls x,y e R-{0} existiert, sodass 1=xr+ys, so folgt ggt(r,s)=1.

Beweis: Sei d=ggt(r,s)
--> d teilt r und d teilt s --> d teilt xr und d teilt ys --> d teilt xr+ys=1
-->d teilt 1 --> d ist eine Einheit
Soweit habe ich alles verstanden..
warum folgt nun:
ggt(r,s)=1 ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Antwort
michaL

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21:30 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,

liste hier alle Teiler von 1 auf!

Mfg Michael
t-bus

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21:41 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,
also die Teiler von 1 sind zum Beispiel die 1 selber
oder 1=d*d^(-1) --> d/1

Ich weiß nicht worauf du hinaus möchtest...
Antwort
michaL

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21:50 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,

wenn es also x, y gibt, sodass 1=xr+ys gilt, dann ist jeder gemeinsame Teiler von r und s auch ein Teiler von 1.

Mfg Michael
t-bus

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21:57 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Jaa..
und ein gemeinsamer Teiler von r und s ist d --> d/1.
Soo und nun ?
Darf ich bereits annehmen, dass 1/1 --> also 1/rx+sy ?
Und weil d/1 --> ggt(rx+sy)=1

Warum dann das Argument mit der Einheit?!
Antwort
michaL

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22:06 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,

oi, das ist wirklich nicht schwierig!

Wenn es Zahlen x, y gibt, sodass 1=xr+ys gilt, sp folgt für JEDEN Teiler dr,s (also jeden GEMEINSAMEN Teiler von r und s), dass d1.
Da nur 11 gitl, folgt also d=1 für JEDEN GEMEINSAMEN Teiler von r und s, d.h. es gilt ggT(r,s)=1, da r und s offenbar ja nur den gemeinsamen Teiler 1 haben. Das ist dann offenbar auch zugleich der größte gemeinsame Teiler.

Mfg Michael
Frage beantwortet
t-bus

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22:24 Uhr, 11.01.2020

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Danke,
jetzt habe ich es verstanden!
Ich habe gar nicht mehr daran gedacht, dass wir im euklidischen Ring sind und somit wenn d eine Einheit ist d eben nur 1 sein kann!

t-bus

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22:31 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Eine Frage aber dann doch noch zu dem Thema,
in der VL haben wir bereits gesagt, dass man den ggt(r,s) folgendermaßen darstellen kann ggt(r,s)=ar+bs
Und mit dem Beweis haben wir ja quasi gezeigt, dass die Rückrichtung auch gilt, aber eben nur in dem Fall ar+bs=1
oder?
Antwort
michaL

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22:40 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,

sei d:=ggT(r,s)>1.
Dann betrachten wir rʹ:=rd, sʹ:=sd.
Dann folgt ggT(rʹ,sʹ)=1, d.h. es gibt x,y mit 1=xrʹ+ysʹ=xrd+ysd.
Multiplizere mit d, dann hast du es.

Mfg Michael
Antwort
ermanus

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22:47 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,
ich habe mal kurz hier reingeschaut und nicht verstanden, wieso
z.B. im bekanntermaßen euklidischen Ring der ganzen Gausschen Zahlen
z.B. ggT(1+i,1+i)>1 sein soll, der Ring besitzt doch gar keine Anordnung ...
Gruß ermanus
t-bus

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22:53 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Ne, das ist richtig.
Die Definition besagt:
Ein größter gemeinsamer Teiler von x und y ist ein gemeinsamer Teiler d von x und y, so dass für jeden anderen gemeinsamen Teiler e von x und y gilt: e|d. Wir schreiben auch d = ggT(x,y)
Antwort
ermanus

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22:55 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Dieser Definition stimme ich ja zu, aber aus ab folgt doch in einem
beliebigen euklidischen Ring keineswegs ab.
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

22:55 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Hallo,

ich habe angenommen, dass es hier um (,+,0,-,,1) geht.
Wenn nicht, wäre es gut, alle Grundlagen hier auch aufzuschreiben.
Noch besser sind Scans der Originalaufgabenstellung!

Mfg Michael
Antwort
ermanus

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22:59 Uhr, 11.01.2020

Antworten
@Michael: das habe ich zunächst auch gedacht, aber so langsam kamen mir
Zweifel ;-)
Zumindest sollte die Fragestellerin uns mitteilen, was R sein soll ..

Insbesondere steht in ihrer Definitipn: "ein (!) größter gemeinsamer Teiler ist ..."
Daraus schloss ich, dass es "den (!) größten gmeinsamen Teiler" vielleicht gar nicht
gibt.
t-bus

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23:09 Uhr, 11.01.2020

Antworten
R ist ein euklidischer Ring...

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

23:52 Uhr, 11.01.2020

Antworten
Dadurch, dass du uns das nicht mitgeteilt hast, hast du Michael
unnötig Zeit geraubt. Daher die Lehre für dein "mathematisches Leben":
Bei math. Texten, die jemand anders verstehen soll, bitte alle
Symbole und Buchstaben erklären, die nicht einer internationalen
Norm, wie etwa "" o.ä., unterliegen.

Nun zu: "warum folgt nun: ggt(r,s)=1 ?"
du weißt ja bereits, dass für jeden gemeinsamen Teiler e von r und s
gilt e1. Nun ist auch d=1 ein gemeinsamer Teiler von r und s
und dieser wird von e geteilt. Es liegt also die Situation
von deinem Beitrag um 22:53 Uhr vor, folglich ist nach jener Definition
1=ggT(r,s).
Gruß ermanus


t-bus

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07:24 Uhr, 12.01.2020

Antworten
Ich hätte aber gerne gewusst warum das direkt aus dem inversen folgt ?

Antwort
ermanus

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08:11 Uhr, 12.01.2020

Antworten
Meinst du die Aussage
d1dR* ?
Hier bedeute R* die Gruppe der Einheiten von R.
Gruß ermanus
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.