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Größtmögliches Volumen eines Tunnels

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgabe, volum

tabbelmatic aktiv_icon

12:11 Uhr, 02.11.2012

Ich soll die Abmessungen für das maximale Volumen eines Tunnels berechnen,der sich, nimmt man den Querschnitt, aus einem Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis zusammensetzt. Die Angaben sind, dass der Tunnel

25 m

lang ist und dass der Querschnitt einen Umfang von

18 m

haben soll.
Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:

V = (

FlächeRechteck

+

FlächeHalbkreis

) \cdot 25

= (g h + \frac{1}{2} π r

) \cdot 25

r = \frac{g}{2}

U = 18 = g + 2 h + π r

= g + 2 h + π \frac{g}{2}

...Weiter komme ich nicht, weil ich immer noch 2 Variablen habe

: (

könnt ihr mir helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

12:18 Uhr, 02.11.2012

in der Volumenformel hast du im Moment noch 3 Unbekannte

r

kann durch

\frac{g}{2}

ersetzt werden

durch die Nebenbedingung (hier Umfang) kann eine Variable durch die andere ausgedrückt werden

die Umfangformel nach

g

(oder

h)

auflösen und das

g

(bzw.

h)

in der Volumenformel damit ersetzen, dann hat man dort nur noch eine Unbekannte

Edddi aktiv_icon

12:21 Uhr, 02.11.2012

. .

. gut, bringen wir mal Ordnung in dein Chaos, denn die Ansätze passen schon.

Erstmal vernachlässige ich die Länge des Tunnels, denn dise ist für die Abmaße des Querschnitts unerheblich.

Man erhält also:

A = g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot π \cdot {(\frac{g}{2})}^{2} = g \cdot h + π \cdot \frac{g^{2}}{8}

Dies ist deine Hauptbedingung. Um aber das Maximum von

A

in Abhängigkeit EINER Variablen zu bestimmen, musst du die 2. Variable eliminieren.

Dazu benötigst du die Nebenbedingung:

U = g + 2 \cdot h + π \cdot (\frac{g}{2}) = 18

nun kannst du nach einer Variablen umstellen, und diese dann oben einsetzen.

Du erhälst dann

A (h) = . .

. oder

A (g) = . .

.

Nun kannst du dann über die Ableitung die Extremstellen bestimmen. Hast du dann

g

oder

h

berechnet, kannst du diese in die NB einsetzen und erälst noch den Wert für die andere Variable.

;-)

tabbelmatic aktiv_icon

14:09 Uhr, 02.11.2012

Aaaah super dankeschön! Ich habe jetzt nach

g

aufgelöst, vermute aber, dass sich da ein Fehler eingeschlichen hat, weil am Ende nämlich ein negativer Wert für

h

heraus kam... Wäre super wenn du mir da auch nochmal helfen könntest! Bei mir kam

g = 9

heraus.

Edddi aktiv_icon

15:10 Uhr, 02.11.2012

18 = g + 2 \cdot h + \frac{π}{2} \cdot g

18 - 2 \cdot h = (1 + \frac{π}{2}) \cdot g

g = \frac{18 - 2 \cdot h}{1 + \frac{π}{2}} = \frac{36 - 4 \cdot h}{2 + π}

. .

. du siehst schon, dass dies äußerst ungünstig ist, zumal dieser Term nun einmal so, und als Quadrat in die Flächenformel eingesetzt werden muss. (Es wird aber dasselbe rauskommen)

Effektiver ist es, nach

h

umzustellen:

18 = g + 2 \cdot h + \frac{π}{2} \cdot g

9 - \frac{g}{2} - \frac{π}{4} \cdot g = h

. .

. dies eingesetzt in:

A = g \cdot h + π \cdot \frac{g^{2}}{8}

A (g) = g \cdot (9 - \frac{g}{2} - \frac{π}{4} \cdot g) + π \cdot \frac{g^{2}}{8}

A (g) = 9 \cdot g - \frac{g^{2}}{2} - \frac{π}{4} \cdot g^{2} + \frac{π}{8} \cdot g^{2}

A (g) = 9 \cdot g - \frac{1}{2} \cdot g^{2} - \frac{π}{4} \cdot g^{2}

A' (g) = 9 - g - \frac{π}{2} \cdot g = 0

.
.
.

;-)

tabbelmatic aktiv_icon

17:32 Uhr, 02.11.2012

18 = g + 2

⋅

h + \frac{π}{2}

⋅

g

9 −

\frac{g}{2}

−

\frac{π}{4}

⋅

g = h

muss hier nicht das hintere

g

auch durch 2 geteilt werden?

Edddi aktiv_icon

19:24 Uhr, 02.11.2012

18 = g + 2 \cdot h + \frac{π}{2} \cdot g

9 = \frac{g}{2} + h + \frac{π}{4} \cdot g

9 - \frac{g}{2} - \frac{π}{4} \cdot g = h

...stimmt doch!

;-)

xsasxsyx aktiv_icon

02:34 Uhr, 25.03.2020

Ich habe eine Frage:
Wieso ist das jetzt beim nach

h

umstelln statt

18 = g + 2 \cdot h +

\cdot (\frac{g}{2})

18 = g + 2 \cdot h +

(π/2)

\cdot g

Roman-22

02:39 Uhr, 25.03.2020

\frac{π}{2} \cdot g

ist doch dasselbe wie

π \cdot \frac{g}{2}!

Du kannst dafür gern auch

\frac{1}{2} \cdot π \cdot g

schreiben oder

\frac{π \cdot g}{2}

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