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Große Potenz,Matrix,Basiswechsel zur Jordanform

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung

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14:03 Uhr, 23.05.2018

Hallo,

folgende Aufgabe wurde gestellt:

Gegeben reelle Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ - \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

a)

Berechnen sie die Jordansche Normalform von A (Habe ich) und den Basiswechsel der

A

in die Jordansche Normalform überführt.

b)

Berechnen sie (per Hand) die Potenz

A^{42}

. Als Hinweis Jordan Chevalley Zerlegung und Binomische Formel

Brauche Hilfe, für den 2. Teil von

a)

und

b)

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:30 Uhr, 23.05.2018

Hallo,
sei doch so nett und gib uns deine Jordansche Normalform an,
dann kann man leichter drüber reden ;-)

Gruß ermanus

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16:07 Uhr, 23.05.2018

Meine Jordansche Normalform sieht wie folgt aus:

(\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

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16:08 Uhr, 23.05.2018

Meine Jordansche Normalform sieht wie folgt aus:

(\begin{matrix} - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

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16:30 Uhr, 23.05.2018

Die Jordan-Chevalley-Zerlegung von

J

ist offenbar

J = D + N

mit der Diagonalmatrix

D = (\begin{array}{rrrr} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array})

und der nilpotenten Matrix

N = (\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array})

.

Es gilt

D N = N D

und

N^{2} = 0

-Matrix.

Der binomische Satz besagt dann, dass

J^{42} = (D + N)^{42} = D^{42} + (\binom{42}{1}) D^{41} N + (\binom{42}{2}) D^{40} N^{2} + \dots =

= D^{42} + 42 \cdot D^{41} N = I_{4} + 42 \cdot D N = \dots

.

Die am Ende entstehende Matrix transformierst du wieder zurück in die
alte Basis.

Gruß ermanus

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17:18 Uhr, 23.05.2018

Matrix ist berechnet, ging ja tatsächlich sehr einfach :-D)

Jedoch weiß ich nicht, welche Basis?
Habe lediglich 2 Eigenvektoren:

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

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17:25 Uhr, 23.05.2018

Du hast doch eine Matrix - sagen wir mal -

R

mit

R^{- 1} A R = J

. Es ist dann folglich

A^{42} = R J^{42} R^{- 1}

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17:27 Uhr, 23.05.2018

Naja, da ergibt sich ja das Problem, den Basiswechsel, mit dem

J

entsteht, habe ich ja noch nicht bestimmt, weil ich ehrlich gesagt nicht wusste, wie..

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18:16 Uhr, 23.05.2018

Also entweder stimmt deine Matrix

A

nicht oder deine Eigenvektoren.
Bei mir ist der einzige Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Vektor

(0, 1, 1, 1)^{T}

.
Gruß ermanus

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18:28 Uhr, 23.05.2018

Meine Matrix stimmt, habe nochmal nach dem Eigenvektor geschaut und in verschiedene Rechner eingegeben und es kam bei allen

(\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

heraus. Vielleicht hast du dich verrechnet?

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18:37 Uhr, 23.05.2018

(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \\ - \frac{1}{2} & 0 & 0 & 1 \end{array}) (\begin{array}{cccc} 0 \\ - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{cccc} 0 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{array})

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18:46 Uhr, 23.05.2018

Tut mir leid, die Matrix ist doch falsch, es müsste

- 2

sein, in der 2ten Zeile

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18:48 Uhr, 23.05.2018

Ah! Das sieht doch gleich viel besser aus :-)
Nun muss ich neu rechnen, brauche aber wegen anderer Dinge ein bisschen Zeit ...

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23:53 Uhr, 23.05.2018

Hallo,
gerne will ich dir hier eine passende Matrix

R

angeben:

R = (\begin{array}{cccc} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \end{array})

.

Die erste und die dritte Spalte sind Eigenvektoren zu

1

bzw.

- 1

.
Wie man das macht, musst du in deinen Unterlagen heraussuchen oder dich
im Internet schlau machen. Spalte 2 ist ein Hauptvektor zum Eigenwert 1
und Spalte 4 ist ein hauptvektor zum Eigenwert -1.

Bitte habe Verständnis dafür, dass ich hier keine Spezialvorlesung für dich
halten kann ;-)

Gruß ermanus

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08:44 Uhr, 24.05.2018

Hallo,

vielen Dank, das Stichwort „Hauptvektor“, reicht mir letzten Endes schon, damit ich’s nachvollziehen kann.
Jedoch hab ich für