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Großer Umordnungssatz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Funktionalanalysis

Tags: Folgen und Reihen, Funktionalanalysis

RM777 aktiv_icon

11:10 Uhr, 25.03.2019

Hallo,

ich habe eine Frage zum Beweis des Großen Umordnungssatz von Königsberger.
Dazu schreibt er:

"Großer Umordnungssatz: Es sei

(a_{i})_{i \in I}

eine summierbare Familie. Ferner seien

I_{k}, k \in K

, paarweise disjunkte Teilmengen von

I

, deren Vereinigung

I

ist. Dann ist sowohl jede Teilfamilie

(a_{i})_{i \in I_{k}}

summierbar als auch die Familie

(s_{k})_{k \in K}

der Summen

s_{k} := \sum_{i \in I_{k}} a_{i}

, und es gilt

\sum_{i \in I} a_{i} = \sum_{k \in K} s_{k} = \sum_{k \in K} (\sum_{i \in I_{k}} a_{i}) .

Dieser Satz wird oft auch das Große Assoziativgesetz genannt.

Beweis: Die Summierbarkeit jeder Teilfamilie ergibt sich unmittelbar mit dem Hauptkriterium; ebenso die Summierbarkeit der Familie

(s_{k})_{k \in K}

aufgrund der für alle Teilmengen

{k_{1}, . . ., k_{n}} \subset K

gültigen Abschätzung

\sum_{ν = 1}^{n} ∣ s_{k_{ν}} ∣ \leq \sum_{ν = 1}^{n} sup_{J_{ν} \in E (I_{k_{ν}})} {∣ a ∣_{J_{ν}}} = sup_{J_{ν} \in E (I_{k_{ν}})} {\sum_{ν = 1}^{n} ∣ a ∣_{J_{ν}}} \leq sup_{J \in E (I)} {∣ a ∣_{J}}

..."

Der Beweis geht noch weiter. Ich verstehe diese Reihe von Abschätzungen nicht

Wir haben die Summe

s_{k_{v}}

der Teilfamilie

(a_{i})_{i \in I_{k_{c}}}

. Deshalb kann man die Aussage der ersten Abschätzung verallgemeinern

Mit anderen Worten warum gilt

∣ s ∣ \leq sup {∣ a ∣_{J} : J \in E (I)}

wobei

s

die Summe ist von

(a_{i})_{i \in I}

?

Wie habe ich die Gleichheit

\sum_{ν = 1}^{n} sup_{J_{ν} \in E (I_{k_{ν}})} {∣ a ∣_{J_{ν}}} = sup_{J_{ν} \in E (I_{k_{ν}})} {\sum_{ν = 1}^{n} ∣ a ∣_{J_{ν}}}

zu verstehen?

Zuerst habe ich

sup_{J_{1} \in E (I_{1})} {∣ a ∣_{J_{1}}} + . . . + sup_{J_{n} \in E (I_{n})} {∣ a ∣_{J_{n}}}

Das verstehe ich, aber was bedeutet

sup_{J_{ν} \in E (I_{k_{ν}})} {\sum_{ν = 1}^{n} ∣ a ∣_{J_{ν}}}

?

Worun unterscheidet sich dieser Ausdruck von dem Ausdruck von oben und warum gilt Gleichheit?

Beim ersten Audruck haben wir den Index

v

der von

1

bis nach

n

runterläuft aber wie sieht es hier aus?

Ich kann ja hier nicht so verfahren wie vorher, also behaupten, dass:

sup_{J_{ν} \in E (I_{k_{ν}})} {\sum_{ν = 1}^{n} ∣ a ∣_{J_{ν}}}

= sup_{J_{1} \in E (I_{k_{1}})} {\sum_{ν = 1}^{n} ∣ a ∣_{J_{ν}}} + . . . + sup_{J_{n} \in E (I_{k_{n}})} {\sum_{ν = 1}^{n} ∣ a ∣_{J_{ν}}}

Also was bedeutet der zweite Ausdruck?

Gruss RM777

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

RM777 aktiv_icon

11:35 Uhr, 25.03.2019

Ich habe die erste Ungleichung verstanden Sie folgt aus der Dreiecksungleichung. Es gilt nämlich wenn:

∣ s - a_{J} ∣ \leq ε

dann auch

∣ s ∣ \leq ∣ a_{J} ∣ + ε \leq ∣ a ∣_{J} + ε \leq sup_{J \in E (I)} {∣ a ∣_{J}} + ε

Und da

ε

beliebig klein gewählt werden kann gilt dann auch

∣ s ∣ \leq sup_{J \in E (I)} {∣ a ∣_{J}}

Jetzt brauche ich nur noch Hilfe bei den anderen zwei (Un)gleichungen.

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