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Growing Annuity

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Annuity, Barwert, Endwert, Finanzmathematik, Rentenrechnung, Rentenrechnung nachschüssig

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19:22 Uhr, 18.04.2018

Guten Tag,
ich hoffe mir kann jemand bei einer Aufgabe helfen.
Themengebiet: Finanzmathematik, Rentenrechnung (Growing Annuity)

Aufgabenstellung (Kurzfassung):
Für die nächsten

27

Jahre möchte A. eine Rente ansparen. Er schätzt, dass er 7500€ pro Jahr (nachschüssig) einzahlen kann mit einem nominellen Zins von

6 % p . a

. und er ist auch in der Lage diesen Betrag jedes Jahr um

3 %

zu erhöhen. Danach möchte er sich eine jährliche Rente aufzahlen lassen. Die erste Auszahlung erfolgt von heute gesehen nach

28

Jahre. (He plans to make his first withdrawal

28

years from today). Aufgrund der Inflation möchte er auch die Auszahlungen pro Jahr um

2 %

erhöhen. Insgesamt möchte er

35

Auszahlungen erhalten. Wie hoch ist die erste Auszahlung?

Lösung: 35.158,73€

Meine berechnete Lösung stimmt leider nicht (ich habe 37.550,75€ raus.
Mein Lösungsweg:

1)

Zunächst das ansparen der jährlichen Rente innerhalb der ersten

27

Jahren berechnen mit Hilfe der geometrischen Reihe:
Gegeben: annuity

a = 7500

growing

g = 0,03,

rate

r = 0,06, n = 27

Jahre.
Gesucht: Endwert nach

27

Jahren Einzahlung

S_{n} = a + a \cdot (1 + g) \cdot (1 + r) + a \cdot {(1 + g)}^{2} \cdot {(1 + r)}^{2} + ... + a \cdot {(1 + g)}^{n - 1} \cdot {(1 + r)}^{n - 1}

nach Umformung erhalte ich:

S_{n} = a \cdot (\frac{{(1 + g)}^{n} \cdot {(1 + r)}^{n} - 1}{(1 + g) \cdot (1 + r) - 1})

Für die Variablen

a, g, r, n

alles einsetzen: S_27=793.449,68€ (Endwert nach

27

Jahren Einzahlung)

2)

Auszahlung der jährlichen Rente für

35

Auszahlungen
Gegeben: growing

g = 0,03,

rate

r = 0,06, n = 35

Jahre, Barwert PV=793.449,68€
Gesucht: Betrag der ersten Auszahlung a

Hierfür haben wir in der Uni schon die Formel hergeleitet mit:

PV_n

= a \cdot (\frac{1}{r - g}) \cdot (1 - {(\frac{1 + g}{1 + r})}^{n})

Alles wieder eingesetzt und nach annuity a umgeformt; kommt raus: a=37.550,75€

Bitte helft mir!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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19:36 Uhr, 18.04.2018

7500 \cdot \frac{{1,06}^{27} - {1,03}^{27}}{1,06 - 1,03} = a \cdot \frac{{1,06}^{35} - {1,02}^{35}}{(1,06 - 1,02) \cdot {1,06}^{35}}

a = 35 . 158,73

Deine Formel kenne ich leider nicht. Ich mach das immer so, wenn es um dynamisches Sparen geht. Diese Formel findest du auch im Netz.

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~schreier/FinMath/SkriptFinMath2012.pdf
(Seite

31)

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20:18 Uhr, 18.04.2018

Ich darf leider nicht mit anderen einfach "hergeholten" Formeln rechnen. Aaaber: ich habe dadurch eben meinen Fehler gefunden. Also bin im 1. Schritt falsch vorgegangen. Habe nun das richtige Ergebnis raus! Danke!

Trotzdem würde es mich interessieren, warum meine Berechnung nicht korrekt ist...
vielleicht kann jemand mir sagen, warum.

Enano

11:30 Uhr, 19.04.2018

Guten Tag,

"Trotzdem würde es mich interessieren, warum meine Berechnung nicht korrekt ist..."

Deine Berechnung ist

u . a

. nicht korrekt, weil du nicht die richtige Gleichung angewandt hast.
Deine Gleichung berücksichtigt nicht, dass die erste Einzahlung erst nach einem Jahr erfolgt, weil nachschüssig und dass diese Einzahlung auch verzinst wird.
Die folgende Gleichung mit

q = 1 + r

und

b = 1 + g

führt zum richtigen Ergebnis:

I)

S_{n} = a \cdot q^{n - 1} + a \cdot b \cdot q^{n - 2} + . .

+ a \cdot q \cdot b^{n - 2} + a \cdot b^{n - 1}

Beide Seiten mit

b

multiplizieren:

II)

S_{n} \cdot b = b \cdot a \cdot q^{n - 1} + a \cdot b^{2} \cdot q^{n - 2} + . .

+ a \cdot q \cdot b^{n - 1} + a \cdot b^{n}

Gleichung I) mit

q

multiplizieren:

III)

S_{n} \cdot q = a \cdot q^{n} + a \cdot b \cdot q^{n - 1} + . .

+ a \cdot q^{2} \cdot b^{n - 2} + a \cdot q \cdot b^{n - 1}

Wenn jetzt III) von II) subtrahiert wird, bleibt übrig:

S_{n} \cdot b - S_{n} \cdot q = a \cdot b^{n} - a \cdot q^{n}

S_{n} \cdot (b - q) = a \cdot (b^{n} - q^{n})

S_{n} = a \cdot \frac{b^{n} - q^{n}}{b - q}

Außerdem hast du unter

2) g = 0,03

angegeben und auch damit gerechnet, obwohl im Aufgabentext

2 %

steht.

1422912

1422859

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