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Grunverständnis Zählvariable bzw. Indikatorsumme

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

-Lizzy- aktiv_icon

13:00 Uhr, 23.08.2021

Hallo,

Ich habe Probleme damit, den Begriff der Zählvariable bzw. Indikatorsumme zu verstehen.

Bisher habe ich es folgendermaßen verstanden:
Ein Würfel wird zweimal geworfen.

1. Der Grundraum ist

Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), ..., (6,6)}

bzw.

Ω = {(i, j) | i, j \in {1, ..., 6}},

wobei

w = (i, j)

2. Eine Zufallsvariable wäre

X (w) := i + j,

also

z . B

{X = 3} = {(1,2), (2,1)}

3. Eine Indikatorfuntion ist eine Form der Zufallsvariable. Sie gibt an, ob

w \in A

oder

w \notin A

. Also wenn ich die Augensumme 3 gewürfelt habe, muss entweder

(1, 2)

oder

(2, 1) \in A

.

4. Zählvariable: Es wird besipielsweise gezählt (bei mehrmaliger Wiederholung des zweifachen Würfelwurfs), wie oft die Augensumme 3 gewürfelt wurde. Zum Beispiel ist die Indikatorsumme

X,

bei fünfmaliger Wiederholung:

X = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 2

. Zweimal trat also das Ereignis ein, dass die Augensumme 3 geworfen wurde.

Nun haben wir in der Vorlesung den folgenden Satz notiert: "

{

= k}

tritt ein

g . d . w

. genau

k

dieser Ereignisse eintreten". Das macht Sinn im Bezug auf: Die Indikatorumme ist gleich

2,

also

{X = 2},

wenn 2 mal das Ereignis eintrat, dass die Augensumme 3 gewürfelt wurde.
Mir ist aber die Abgrenzung zur Zufallsvariable nicht ganz klar. Denn dort stünde in der selben Schreibweise:

{X = 2} = {(1, 1)},

also um die Augensumme 2 zu werfen, muss zweimal die 1 geworfen werden.

Wie soll ich denn wissen, ob es sich bei einer Variable

X

um eine Zufallsvariable oder eine Zählvariable handelt und wie

{X = 2}

beantwortet werden soll?
Habe ich etwas falsch verstanden?

Vielen Dank für die Hilfe!

HAL9000

15:48 Uhr, 24.08.2021

Es ist wenig hilfreich, wenn du alles und jede Zufallsgröße im Kontext deines Würfelproblems mit

X

bezeichnest, da ist das Chaos vorprogrammiert. Bringen wir mal Ordnung in dein Durcheinander:

X_{k}

... Augensumme zweier Würfe (

k

-ter Versuch)

Y_{k}

... Indikatorvariable für Ereignis, dass im

k

-ten Versuch Summe=3 gewürfelt wurde

Z

... Anzahl solcher 3er-Summenwürfe bei insgesamt

n

Versuchen

Dann ist

Y_{k} = 1_{{X_{k} = 3}}

sowie

Z = \sum_{k = 1}^{n} Y_{k}

. Zu erwähnen ist noch, dass für dieses Szenario nun natürlich ein viel größerer Grundraum benötigt wird, nämlich

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}^{2 n}

, denn alle möglichen Versuchsausgänge von

n

Versuchen bestehend aus jeweils zwei Würfen müssen darin abgebildet werden. Und Ereignis

{X_{k} = 3}

hat (als Teilmenge dieses

Ω

betrachtet) selbstredend ein völlig anderes Aussehen als Ereignis

{Z = 3}

.

Jetzt denkst du in diesem Sinne mal erneut über dein "Problem" (?!) nach, d.h., falls es jetzt überhaupt noch eins gibt...

> Wie soll ich denn wissen, ob es sich bei einer Variable

X

um eine Zufallsvariable oder eine Zählvariable handelt

Zählvariablen sind Zufallsvariablen mit Werten in den nichtnegativen ganzen Zahlen, d.h.,

{0, 1, 2, \dots}

. Ansonsten bilden sie keine Extra-Kategorie, wie du es unterschwellig mit deinem "oder" vielleicht meinen magst.

-Lizzy- aktiv_icon

11:36 Uhr, 17.09.2021

Danke!

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