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Grunverständnis Zählvariable bzw. Indikatorsumme

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

 
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-Lizzy-

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13:00 Uhr, 23.08.2021

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Hallo,

Ich habe Probleme damit, den Begriff der Zählvariable bzw. Indikatorsumme zu verstehen.

Bisher habe ich es folgendermaßen verstanden:
Ein Würfel wird zweimal geworfen.

1. Der Grundraum ist Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),...,(6,6)} bzw. Ω={(i,j)|i,j{1,...,6}}, wobei w=(i,j)

2. Eine Zufallsvariable wäre X(w):=i+j, also z.B. {X=3}={(1,2),(2,1)}

3. Eine Indikatorfuntion ist eine Form der Zufallsvariable. Sie gibt an, ob wA oder wA. Also wenn ich die Augensumme 3 gewürfelt habe, muss entweder (1,2) oder (2,1)A.

4. Zählvariable: Es wird besipielsweise gezählt (bei mehrmaliger Wiederholung des zweifachen Würfelwurfs), wie oft die Augensumme 3 gewürfelt wurde. Zum Beispiel ist die Indikatorsumme X, bei fünfmaliger Wiederholung: X=0+1+0+0+1=2. Zweimal trat also das Ereignis ein, dass die Augensumme 3 geworfen wurde.

Nun haben wir in der Vorlesung den folgenden Satz notiert: "{X =k} tritt ein g.d.w. genau k dieser Ereignisse eintreten". Das macht Sinn im Bezug auf: Die Indikatorumme ist gleich 2, also {X=2}, wenn 2 mal das Ereignis eintrat, dass die Augensumme 3 gewürfelt wurde.
Mir ist aber die Abgrenzung zur Zufallsvariable nicht ganz klar. Denn dort stünde in der selben Schreibweise: {X=2}={(1,1)}, also um die Augensumme 2 zu werfen, muss zweimal die 1 geworfen werden.

Wie soll ich denn wissen, ob es sich bei einer Variable X um eine Zufallsvariable oder eine Zählvariable handelt und wie {X=2} beantwortet werden soll?
Habe ich etwas falsch verstanden?

Vielen Dank für die Hilfe!
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

15:48 Uhr, 24.08.2021

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Es ist wenig hilfreich, wenn du alles und jede Zufallsgröße im Kontext deines Würfelproblems mit X bezeichnest, da ist das Chaos vorprogrammiert. Bringen wir mal Ordnung in dein Durcheinander:

Xk ... Augensumme zweier Würfe (k-ter Versuch)

Yk ... Indikatorvariable für Ereignis, dass im k-ten Versuch Summe=3 gewürfelt wurde

Z ... Anzahl solcher 3er-Summenwürfe bei insgesamt n Versuchen

Dann ist Yk=1{Xk=3} sowie Z=k=1nYk. Zu erwähnen ist noch, dass für dieses Szenario nun natürlich ein viel größerer Grundraum benötigt wird, nämlich Ω={1,2,3,4,5,6}2n, denn alle möglichen Versuchsausgänge von n Versuchen bestehend aus jeweils zwei Würfen müssen darin abgebildet werden. Und Ereignis {Xk=3} hat (als Teilmenge dieses Ω betrachtet) selbstredend ein völlig anderes Aussehen als Ereignis {Z=3}.


Jetzt denkst du in diesem Sinne mal erneut über dein "Problem" (?!) nach, d.h., falls es jetzt überhaupt noch eins gibt...


> Wie soll ich denn wissen, ob es sich bei einer Variable X um eine Zufallsvariable oder eine Zählvariable handelt

Zählvariablen sind Zufallsvariablen mit Werten in den nichtnegativen ganzen Zahlen, d.h., {0,1,2,}. Ansonsten bilden sie keine Extra-Kategorie, wie du es unterschwellig mit deinem "oder" vielleicht meinen magst.
Frage beantwortet
-Lizzy-

-Lizzy- aktiv_icon

11:36 Uhr, 17.09.2021

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Danke!