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Gruppe H Ordnung p^3 mit Zentrum p^2

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen Zentrum, Primzahl

Marcell025 aktiv_icon

17:51 Uhr, 24.10.2017

Fällt jemandem gerade ein Beispiel zur Vorstellung von einer Gruppe

H

mit

| H | = p^{3}

und Zentrum

Z (G)

mit Ordnung

p^{2}

ein?

Wäre froh darum! Vielen Dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ermanus aktiv_icon

17:56 Uhr, 24.10.2017

Hallo,

was hältst du von der Quaternionengruppe

{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k}

mit

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1

und

i j = k, j k = i, k i = j

.

Gruß ermanus

EDIT: sorry, habe mich geirrt: das Zentrum hat hier nicht 4, sondern nur 2 Elemente.

ermanus aktiv_icon

18:00 Uhr, 24.10.2017

Eine solche Gruppe kann es nicht geben. Es ist leicht zu beweisen,
dass

G / Z (G)

zyklisch

\Rightarrow

G abelsch

\Rightarrow Z (G) = G

gilt.

Marcell025 aktiv_icon

19:20 Uhr, 24.10.2017

Ok danke.

Wie kommst du darauf, dass

(\frac{G}{Z} (G))

zyklisch sein muss? Folgt dies aus

| Z (G) | = p^{2}

ermanus aktiv_icon

19:23 Uhr, 24.10.2017

Ja; denn

∣ G / Z (G) ∣ = ∣ G ∣ / ∣ Z (G) ∣ = p^{3} / p^{2} = p

Marcell025 aktiv_icon

20:44 Uhr, 24.10.2017

Vielen Dank!

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