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Gruppe, Halbgruppe, Monoid

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Tags: Gruppen

anonymous

15:57 Uhr, 11.08.2020

Folgendes:

Auf der Potenzmenge

P (x)

einer festen Menge

X

betrachten wir die Verknüpfung

⋆,

die gegeben ist durch:

A ⋆ B = (A \cup B) (A \cap B)

für alle

A, B \subseteq P (X)

.

Untersuchen sie, ob

P (x)

mit dieser Verknüpfung eine Halbgruppe, ein Monoid oder gar eine Gruppe ist.

- -

Okay, ich habe folgendes:

Ich muss überprüfen, ob

I) Abgeschlossenheit
II) Assoziativität
III) Neutrales Element
IV) inverses Element

vorliegen.

Abgeschlossen ist eine Menge, wenn das Ergebnis nach Anwendung der Verknüpfung wieder in der Menge liegt
Assoziatitivät:

a ⋆ (b ⋆ c) = a ⋆ (b ⋆ c)

Neutrales Element:

A ⋆ e = A

Inverses Element:

A ⋆ A^{- 1} = e

Eine Halbgruppe liegt vor, wenn nur die Abgeschlossenheit und Assoziativität gelten, ein Monoid verlangt noch das neutrale Element, bei einer Gruppe müssen alle Axiome vorhanden sein.

Nun gut.

Ich weiß, wie ich es auf Mengen wie den natürlichen Zahlen mit einer Addition als Verknüpfung zeigen oder widerlegen kann, und ähnliche Fälle.

Wie muss ich aber hier bei dieser Menge sowie der Potenzmenge vorgehen?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

18:24 Uhr, 11.08.2020

Hallo
A⋆B=(A∪B) (A∩B) was steht für ein Zeichen zwischen den Klammern ?

anonymous

18:40 Uhr, 11.08.2020

Mist, da hat der Text-Modus mein Backslash gelöscht..

Es ist natürlich

(A \cup B) \ (A \cap B)

ermanus aktiv_icon

21:36 Uhr, 11.08.2020

Hallo,
ich habe die Definition von

A * B

etwas umgeformt:

A * B = (A \ B) \cup (B \ A)

.
Wegen dieser Gestalt heißt

A * B

auch symmetrische Differenz
der Mengen.
Wenn du nun mit dieser Form

(A * B) * C = A * (B * C)

beweisen willst, musst du die Gleichheit der beiden Mengen

(A * B) * C = (((A \ B) \cup (B \ A)) \ C) \cup (C \ ((A \ B) \cup (B \ A)))

und

A * (B * C) = (A \ ((B \ C) \cup (C \ B))) \cup (((B \ C) \cup (C \ B)) \ A)

zeigen ...
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

21:58 Uhr, 11.08.2020

Mit ein paar "Tricks" kannst du diese Mengengleichheit
auch übersichtlicher gewinnen.
Sei

α

die Aussage

x \in A

β

die Aussage

x \in B

und

α * β

die Aussage

x \in A * B

. Wennn du dann die zu "

*

"
gehörige Wahrheitstafel aufstellst, siehst du, dass das die gleiche
Tafel wie die von

α

XOR

β

ist, wobei "XOR" das exklusive Oder
bedeutet.
Es reicht nun zu zeigen, dass die Ausdrücke

(α * β) * γ

und

α * (β * γ)

denselben Wahrheitsverlauf haben.

Das ist in 10 Minuten getan ;-)

anonymous

02:54 Uhr, 12.08.2020

Hallo,

die Assoziativität mal zu Fuß geklärt,
so als Hirnjogging (Rechnen mit Mengen) quasi...

Man kann von oben nach unten und/oder unten nach oben lesen,
und der mit (Venn) deklarierte Term als Treff- und Wendepunkt
in der Mitte der Rechnung kann sehr gut
als Venn-Diagramm realisiert und verstanden werden.

(A \cdot B) \cdot C

= (((A \cup B) \ (A \cap B)) \cup C) \ (((A \cup B) \ (A \cap B)) \cap C)

= ((A \ (A \cap B) \cup B \ (A \cap B)) \cup C) \ ((A \ (A \cap B) \cup B \ (A \cap B)) \cap C)

= ((A \ B \cup B \ A) \cup C) \ ((A \ B \cup B \ A) \cap C)

= (A \ B \cup B \ A) \ ((A \ B \cup B \ A) \cap C) \cup C \ ((A \ B \cup B \ A) \cap C)

= (A \ B \cup B \ A) \ C \cup C \ (A \ B \cup B \ A)

= A \ (B \cup C) \cup B \ (A \cup C) \cup (C \ (A \ B) \cap C \ (B \ A))

= A \ (B \cup C) \cup B \ (A \cup C) \cup ((C \ A \cup (C \cap B)) \cap (C \ B \cup (C \cap A)))

= A \ (B \cup C) \cup B \ (A \cup C) \cup (C \ A \cap (C \ B \cup (C \cap A))) \cup ((C \cap B) \cap (C \ B \cup (C \cap A)))

= A \ (B \cup C) \cup B \ (A \cup C) \cup (C \ A \cap C \ B) \cup (C \ A \cap (C \cap A)) \cup ((C \cap B) \cap C \ B) \cup ((C \cap B) \cap (C \cap A))

= A \ (B \cup C) \cup B \ (A \cup C) \cup C \ (A \cup B) \cup \emptyset \cup \emptyset \cup (A \cap B \cap C)

= A \ (B \cup C) \cup B \ (A \cup C) \cup C \ (A \cup B) \cup (A \cap B \cap C)

(Venn)

= A \ (B \cup C) \cup \emptyset \cup \emptyset \cup (A \cap B \cap C) \cup B \ (C \cup A) \cup C \ (B \cup A)

= (A \ B \cap A \ C) \cup (A \ B \cap (A \cap B)) \cup ((A \cap C) \cap A \ C) \cup ((A \cap C) \cap (A \cap B)) \cup B \ (C \cup A) \cup C \ (B \cup A)

= (A \ B \cap (A \ C \cup (A \cap B))) \cup ((A \cap C) \cap (A \ C \cup (A \cap B))) \cup B \ (C \cup A) \cup C \ (B \cup A)

= ((A \ B \cup (A \cap C)) \cap (A \ C \cup (A \cap B))) \cup B \ (C \cup A) \cup C \ (B \cup A)

= (A \ (B \ C) \cap A \ (C \ B)) \cup B \ (C \cup A) \cup C \ (B \cup A)

= A \ (B \ C \cup C \ B) \cup (B \ C \cup C \ B) \ A

= A \ (A \cap (B \ C \cup C \ B)) \cup (B \ C \cup C \ B) \ (A \cap (B \ C \cup C \ B))

= (A \cup (B \ C \cup C \ B)) \ (A \cap (B \ C \cup C \ B))

= (A \cup (B \ (B \cap C) \cup C \ (B \cap C))) \ (A \cap (B \ (B \cap C) \cup C \ (B \cap C)))

= (A \cup ((B \cup C) \ (B \cap C))) \ (A \cap ((B \cup C) \ (B \cap C)))

= A \cdot (B \cdot C)

ermanus aktiv_icon

10:16 Uhr, 12.08.2020

Nach dem schönen Beitrag von Wurzelgnom und seiner
Veranschaulichung mit Venn-Diagramm,
hier noch eine Weiterführung meiner Idee:
Wenn man "wahr" mit 1 und "falsch" mit 0 darstellt,
sieht man, dass die Wahrheitstafel von

α * β

gerade
die Additionstafel von

(ℤ / 2 ℤ, +)

ist;
und diese Addition mod 2 iat bekanntermaßen assoziativ.
Gruß ermanus

anonymous

12:51 Uhr, 12.08.2020

Hm, scheint zu klappen...

[\begin{matrix} α & β & γ & α \cdot β & β \cdot γ & (α \cdot β) \cdot γ & α \cdot (β \cdot γ) \\ w & w & w & f & f & w & w \\ w & w & f & f & w & f & f \\ w & f & w & w & w & f & f \\ w & f & f & w & f & w & w \\ f & w & w & w & f & f & f \\ f & w & f & w & w & w & w \\ f & f & w & f & w & w & w \\ f & f & f & f & f & f & f \end{matrix}]

ermanus aktiv_icon

13:25 Uhr, 12.08.2020

Danke Wurzlgnom, so habe ich es gemeint :-)

anonymous

13:30 Uhr, 12.08.2020

Gut, Danke für die Idee, Bitte, ja...

Ob Looris96 noch am Ball ist ?

Ich geb einfach Mal noch einen Tipp ab:

Schlussendlich finden wir dann,
dass

(P (X), \cdot)

eine abelsche Gruppe ist.

Die Abgeschlossenheit folgt aus der von

\cup, \cap

und

\

auf

P (X)

.

Die Kommutativität folgt aus der von

\cup

und

\cap

auf

P (X)

.

Die Assoziativität wurde bereits gezeigt.

Neutrales Element ist

\emptyset,

denn

\forall A \in P (X)

gilt

A \cdot \emptyset = (A \cup \emptyset) \ (A \cap \emptyset) = A \ \emptyset = A

.

Für

A \in P (X)

ist

A^{- 1} := A

das inverse Element, denn

A \cdot A = (A \cup A) \ (A \cap A) = A \ A = \emptyset

.

Stimmt's ?

ermanus aktiv_icon

13:34 Uhr, 12.08.2020

Ja!
So sehe ich das auch :-)
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

15:41 Uhr, 12.08.2020

Vielleicht hier noch eine abschließende Bemerkung für
die Algebraiker unter den Mitlesern.
Gemäß meinen Beiträgen bekommen wir einen
Gruppenisomorphismus von

(P (X), *)

mit dem
direkten Gruppenprodukt

\prod_{x \in X} (ℤ / 2 ℤ, +)

Gruß ermanus

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