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Gruppe bezüglich einer Komposition beweisen

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Gruppen

Tags: Gruppen, Komposition

FauleRatte aktiv_icon

10:39 Uhr, 28.10.2009

Hallo,

ich soll folgende Aufgabe lösen.

Zeigen Sie, dass die Menge aller Abbildungen fa,b

: ℝ

→

ℝ

mit
fa,b(x)

:= a

x + b (a

∈

ℝ {0}, b

∈

ℝ)

bezüglich der Komposition eine nicht-kommutative Gruppe

G

bildet.

Ich verstehe hier allerdings nicht, wie es mit der Komposition gemeint ist.
Für eine Komposition brauch man doch eigentlich immer zwei Funktionnen oder?
Wäre nett, wenn mir das jemand genauer erklären kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Astor aktiv_icon

10:58 Uhr, 28.10.2009

Hallo,
die Komposition ist die Hintereinanderausführung von Funktionen.

f_{a, b} (x) = a x + b

f_{c, d} (x) = c x + d

f_{c, d} ° f_{a, b} (x) = f_{c, d} (a x + b) = c (a x + b) + d

Gruß Astor

FauleRatte aktiv_icon

11:21 Uhr, 28.10.2009

Gut, danke.

Ich habe jetzt bewiesen, dass es in der Komposition assoziativ und kommutativ ist.
Folgendermaßen:

kommutativ

(f c, d \circ f a, b) (x) = f c, d (a \cdot x + b) = c (a \cdot x + b) + d

(f a, b \circ f c, d) (x) = f a, b (c \cdot x + d) = a (c \cdot x + d) + b

Da es nicht das gleiche ist, ist die Funktion in der Komposition nicht kommutativ oder?

assoziativ

((f e, g \circ f c, d) \circ f a, b) (x) = (f e, g \circ f c, d) (a \cdot x + b) = f e, g (c (a \cdot x + b) + d) = e (c (a \cdot x + b) + d) + f

(f e, g (f c, d \circ f a, b)) (x) = e \cdot x + g (f c, d \circ f a, b) = e \cdot x + g (c (a \cdot x + b) + d) = e (c (a \cdot x + b) + d) + f

Da es gleich ist, ist die Funktion in der Komposition assoziativ oder?

Jetzt müsste ich aber noch beweisen, dass es neutrale Elemenet gibt, könnte mir da noch jemand einen Tipp geben?

P . S . :

Wie kann man eigentlich tief schreiben?

Astor aktiv_icon

12:13 Uhr, 28.10.2009

Ja,
sieht gut aus.
Neutrales Element könnte

f_{1, 0}

sein. Nachprüfen.
Tief schreibt man mit dem "_" -Zeichen. Mehrere tiefgestellte Zeichen müssen mit geschweiften Klammern gesetzt werden.

FauleRatte aktiv_icon

15:05 Uhr, 28.10.2009

Hab jetzt mal geschaut,
Nullelemt:

f_{1,0} \circ f_{1,0} = f_{1,0} (1 \cdot x + 0) = 1 (x + 0) + 0 = 0

Ist so ein Nullelement bewiesen?
Oder muss man hier die Komposition gar nicht beachten?

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