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Gruppe der Ordnung 245 abelsch
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: abelsch, Gruppen, Sylow
 
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Sei . hat eine 5-Sylowuntergruppe und eine 7-Sylowuntergruppe, welche beide abelsch sind. und . Darf ich nun folgern, dass abelsch ist, da (nach chinesischem Restsatz) isomorph zu kreuz ? Ist bzw. isomorph zu bzw. zu trivial? Ich verstehe es nämlich noch nicht ganz. Folgt es, da beide Untergruppen und jeweils abelsch sind? Vielen Dank im voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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math.stackexchange.com/questions/1043970/question-involving-sylows-thm-for-g-245 |
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Diese Seite hatte ich mir schon angeschaut und deshalb bin ich soweit gekommen ;-) Für meine Fragen habe ich aber leider keine befriedigende Antwort gefunden. In der Zwischenzeit ist noch eine ähnliche Frage (etwas allgemeiner) aufgetaucht: Was muss ich zeigen bzw. was muss ich für Eigenschaften von prüfen, dass ich isomorph zu Z/nZ mit schreiben darf? |
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"Was muss ich zeigen bzw. was muss ich für Eigenschaften von prüfen, dass ich isomorph zu Z/nZ mit schreiben darf?" muss dafür zyklisch sein. Wenn eine Primzahl ist, ist das dann automatisch erfüllt. |
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Deine Fragen verstehe ich nicht ganz. In dem Link wird erklärt, warum eine Gruppe der Ordnung abelsch ist. Zyklisch muss sie nicht sein. Warum fragst Du dann, ob sie dann zu isomorph ist? Die Antwort ist: nicht unbedingt (in der Tat vermutlich nicht, ich habe es nicht geprüft), aber das spielt keine Rolle. |
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Der Beweis davon, dass abelsch ist, ist in dem Link klar beschrieben. Er geht so: ist direktes Produkt von zwei Gruppen und , eine davon ist zyklisch, weil die Ordnung von ihr eine Primzahl ist, und daher auch abelsch, und zweite davon ist abelsch, weil von der Ordnung mit einer Primzahl . Und ein direktes Produkt von zwei abelschen Gruppen ist offensichtlich abelsch. Das ist alles. |
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Vielen Dank für die Antworten! Zu meiner Frage kam es, da mir nicht klar ist/war, warum als direktes Produkt von und geschrieben werden darf.. Deshalb habe ich mir überlegt zu beweisen, dass bzw. isomorph zu den entsprechenden Gruppen Z/nZ ist und mit dem chinesischen Restsatz das ganze als Produkt zu schreiben. Aber ich sehe, dass es so einfacher geht! Vielen Dank! |
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