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Gruppen, Äquivalenzrelation und Klassen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: äquivalenzklasse, Äquivalenzrelation, Gruppen

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10:43 Uhr, 06.04.2022

Hallo, ich habe die lineare Algebra 1 vor längerer Zeit bestanden und versuche mich jetzt an lineare Algebra 2. Das Skript des neuen Dozenten zu seiner LINA 1 Vorlesung gibt er uns nicht und ich habe bei folgendem Blatt ein paar Probleme bei Aufgabe 2:

zu (i) Mein Lösungsvorschlag ist angehangen
zu (ii):

Beim thema Äquivalenzklassen tue ich mich schwer, aber definiert müsste hier doch die Rechtsnebenklasse sein als :

(G_{x}) * x = {g * x : g \in G_{x}}

, ist das richtig? Wohldefiniert ist die Abbildung, wenn aus

g_{1} = g_{2}

folgt, dass

f (g_{1}) = f (g_{2})

Folgt Oder? ich werde ja wahrscheinlich hier die Äquivalenzrelation, die durch

g_{1} * (g_{2})^{-} 1 \in G_{x}

gegeben ist benutzen, oder ist das hier noch irrelevant?

Injektiv und Surjektiv probiere ich dann, wenn ich weiß ob das was ich geschrieben habe überhaupt richtig ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:19 Uhr, 06.04.2022

Deine Lösung zu (i) ist falsch.
In der Gleichung

g \cdot x = x

kannst du nicht mit

x^{- 1}

multiplizieren, denn

x^{- 1}

nicht existiert.

x

ist ein Element der Menge

X

, die keine Gruppe ist, einfach nur Menge. Übrigens,

g \cdot x

ist auch keine Multiplikation, das ist Wirkung von

g

auf

x

.
Also das Problem ist, dass du nicht verstehst, welche Objekte mit welchen Eigenschaften in dieser Aufgabe behandelt werden.
Daher empfehle ich zuerst zumindest das zu lesen:
de.wikipedia.org/wiki/Gruppenoperation

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14:29 Uhr, 06.04.2022

"Beim thema Äquivalenzklassen tue ich mich schwer, aber definiert müsste hier doch die Rechtsnebenklasse sein als : (Gx)∗x={g∗x:g∈Gx} , ist das richtig? "

Nein.

G_{x}

ist eine Untergruppe von

G

.
Und eine Nebenklasse ist

g G_{x}

für ein

g

aus

G

. Also eigentlich die Menge

{g h : h \in G_{x}}

. Und

G / G_{x}

besteht dann aus allen

g G_{x}

mit

g \in G

.
Die Wohldefiniertheit von

g G_{x} \to g \cdot x

wird so gezeigt:
wenn

g G_{x} = h G_{x}

, dann

g^{- 1} h G_{x} = G_{x}

g^{- 1} h \in G_{x}

(g^{- 1} h) \cdot x = x

g^{- 1} \cdot (h \cdot x) = x

g \cdot (g^{- 1} \cdot (h \cdot x)) = g \cdot x

(g g^{- 1} h) \cdot x = g \cdot x

h \cdot x = g \cdot x

. Also das Bild der Abbildung hängt nicht von der Auswahl der Klassenrepresanten in

g G_{x}

.
Hier bitte beachten, dass

\cdot

die Wirkung ist und nicht die Multiplikation in der Gruppe.

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14:46 Uhr, 06.04.2022

Hallo DrBoogie,

danke für den Link, jetzt macht mir einiges mehr Sinn. Spätestens Morgen Vormittag mache ich mich an einen neuen Beweis für die Untergruppe, aber die Kriterien die ich zeigen wollte sind doch die benötigten, oder ?

Den Beweis für die Wohldefiniertheit kann ich soweit nachvollziehen. Wir haben in der Vorlesung nichts dahingehend thematisiert. Ich danke für die Hilfe und hoffe, dass du auf meinen Beweis Morgen nochmal antworten kannst.

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14:46 Uhr, 06.04.2022

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14:46 Uhr, 06.04.2022

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08:55 Uhr, 07.04.2022

"Spätestens Morgen Vormittag mache ich mich an einen neuen Beweis für die Untergruppe, aber die Kriterien die ich zeigen wollte sind doch die benötigten, oder ?"

Ja, du musst natürlich die Gruppeneigenschaften nachweisen: assoziativ, neutr. Element, Inverse.

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15:26 Uhr, 07.04.2022

Hallo, hier schonmal mein Versuch zur Untergruppe:

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15:34 Uhr, 07.04.2022

i)
In

g_{1} \cdot g_{2}

ist

\cdot

Multiplikation in der Gruppe

G

und nicht die Gruppenwirkung. Die Gruppe wirkt nicht auf sich selbst, sondern auf der Menge

X

.
Weiter kann man

g_{1} \cdot g_{2} = (g_{1} \cdot x) \cdot (g_{2} \cdot x)

aus mehreren Gründen nicht schreiben. Z.B. weil

g_{1} \cdot x = x

und

g_{2} \cdot x = x

, also steht rechts

x \cdot x

, was nicht definiert ist. Es ist wiederum so:

G

wirkt auf

X

. Nicht

G

auf

G

und auch nicht

X

auf

X

.

iii) Die Schlussfolgerung ist falsch. Daraus, dass neutrales Element in

G_{x}

liegt, folgt nicht, dass dort auch Inversen liegen.

UPDATE. Es war ein Kommentar zu iii), nicht zu ii).

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15:43 Uhr, 07.04.2022

Vielleicht kuck einfach den Beweis hier:
www.mathematik.uni-kl.de~lassueur/en/teaching/AGSWS1819/Gruppen(4+6Dez).pdf
(Bemerkung 3.2.4 auf der Seite 18).

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15:49 Uhr, 07.04.2022

Dann weiß ich leider nicht wie anfangen soll.

Es muss dann ja für

g_{1} * g_{2}

mit

g_{1}, g_{2}

aus

G_{x}

und

* = M u l t i p l i k a t i o n

gelten, dies ebenfalls aus

G_{x}

ist. Versuche ich aber das beides zu multiplizieren habe ich ja

g_{1} * g_{2} = (g_{1} # x) * (g 2 # x), w o b e i # = G r u p p e n w i r k u n g

wie gehe ich denn jetzt mit 2 Operationen aufeinmal um, weil x*x ist ja nicht definiert. War denn das Zeigen des neutralen Elements richtig ? Wieso kann ich denn nicht das Inverse aus dem neutralen folgern?

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15:53 Uhr, 07.04.2022

Du musst zeigen, dass

g_{1} * g_{2}

G_{x}

liegt, wenn

g_{1}, g_{2}

aus

G_{x}

sind.
Also musst du zeigen, dass

(g_{1} * g_{2}) \cdot x = x

gilt. Und nur das.

g_{1} * g_{2}

ohne

x

zu schreiben ist an der Stelle sinnlos.
Oder kuck einfach im Link oben.

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15:56 Uhr, 07.04.2022

"Wieso kann ich denn nicht das Inverse aus dem neutralen folgern?"

Nun, betrachte die Gruppe

ℤ

bezüglich Addition und dort die Teilmenge

{0, 1, 2, 3, . . .}

. In ihr liegt das neutrale Element

0

, aber

1

oder

2

usw. haben keine Inversen (in

{0, 1, 2, 3, . . .}

). Deshalb ist

{0, 1, 2, 3, . . .}

keine Untergruppe.

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16:18 Uhr, 07.04.2022

Seien

g_{1}, g_{2}

aus

G_{x}

dann gilt

g_{1} \cdot x = x

und

g_{2} \cdot x = x

Es folgt, dass

g_{1} \cdot x = g_{2} \cdot x

G_{x}

Gruppe existiert

(g_{2})^{-} 1

woraus folgt:

g_{1} \cdot x \cdot (g_{2})^{-} 1 = x

Daraus folgt

(g_{1} \cdot g_{2}^{-} 1) \cdot x = x

da G_x Untergruppe und das neutr. Element von G = neutr. Element folgt:

(g_{1} \cdot g_{2}^{-} 1) = e = 1 = 1 * 1 = (g_{1} \cdot g_{2}^{-} 1) * (g_{1} \cdot g_{2}^{-} 1) =

Hier werde ich irgendwo einen Fehler haben, aber ich hoffe mein Gedankengang macht trotzdem Sinn

Ok, dann muss ich natürlich das Inverse noch zeigen

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16:37 Uhr, 07.04.2022

Bei der Beweisführung für die Injektivität komme ich bereits zu Beginn ins Stocken.

ich weiß, dass ich allgemein zeigen muss, dass aus f(x)=f(y) x=y folgt.

Sei also

g_{1} \cdot x = g_{2} \cdot x

gegeben. x kommt aus der Menge x, sind die g jetzt aber G oder aus G_x ? Wenn sie aus G_x wären, dann würde ja sofort gelten, dass folgt x=x und somit wäre geiegt, dass g_1 = g_2 und somit injektiv, aber das wäre etwas zu simpel, oder ?

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16:40 Uhr, 07.04.2022

"g1⋅x⋅(g2)−1=x Daraus folgt (g1⋅g−21)⋅x=x"

Was soll denn

g_{1} \cdot x \cdot (g_{2})^{- 1}

sein?

g_{1} \cdot x

ist

x

, also steht dort

x \cdot (g_{2})^{- 1}

, was sinnlos ist.

"(g1⋅g−21)=e=1=1∗1=(g1⋅g−21)∗(g1⋅g−21)= Hier werde ich irgendwo einen Fehler haben, aber ich hoffe mein Gedankengang macht trotzdem Sinn"

Nein, macht nicht. Wie gesagt, es ist sinnlos,

g_{1} * g_{2}

oder auch

g_{1} * g_{2}^{- 1}

ohne

x

zu betrachten.
Hast du denn in meinen Link reingeschaut?

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16:41 Uhr, 07.04.2022

"Sei also g1⋅x=g2⋅x gegeben. x kommt aus der Menge x, sind die g jetzt aber G oder aus G_x "

Aus

G

.

Du kannst auch von links nach rechts gehen, also zeigen:

g_{1} G_{x} \neq g_{2} G_{x}

g_{1} \cdot x \neq g_{2} \cdot x

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16:59 Uhr, 07.04.2022

Ich hoffe, so ist es jetzt richtig. Den Link habe ich zunächst übersehen. Wenn man es einmal verstanden hat, dann ist die Aufgabe eigentlich nicht schwer ( zumindest hoffe ich, dass ich es verstanden)

Dann kann ich mich nach der Arbeit an den Injektivitätsbeweis machen. Danke für deine Geduld ;-)

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18:05 Uhr, 07.04.2022

In U1 sieht es so aus, als ob du behauptest, dass jedes

g

ein neutrales Element wäre, was falsch ist. Wenn du es anders meinst, musst es anders schreiben
U3 ist so schwer zu verstehen, finde ich. Ich würde es auch anders schreiben.

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21:24 Uhr, 07.04.2022

zu U1: stimmt, dass kann missverstanden werden.
zu U3: wie kann ich es denn verständlicher schreiben ?

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21:48 Uhr, 07.04.2022

Sei

g

aus

G_{x}

. Da

G_{x} \subset G

, gibt's in

G

das Inverse Element

g^{- 1}

.
Wegen

g \in G_{x}

gilt

g \cdot x = x

. Dann haben aber

g^{- 1} \cdot x = g^{- 1} \cdot (g \cdot x) = (g * g^{- 1}) \cdot x = e \cdot x = x

. Also,

g^{- 1} \in G_{x}

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19:17 Uhr, 08.04.2022

Danke Dir, sobald ich etwas brauchbares für den Beweis der Injektivität und Subjektivität habe, schreibe ich es

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18:55 Uhr, 10.04.2022

Entschuldige die späte Antwort. Ich war leider außer Landes und mein Rucksack wurde mir entwendet. Ich habe nur nur noch 5h Zeit und leider eine Menge Aufgaben vor mir... Ich habe hier was zur Injektivität. Aufgrund des Zeitdrucks bin ich für jeden Ratschlag, Erklärung und Lösung dankbar.

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20:50 Uhr, 10.04.2022

Ne, so geht das nicht.

Aber so:

g_{1} G_{x} \neq g_{2} G_{x}

g_{2}^{- 1} g_{1} G_{x} \neq G_{x}

g_{2}^{- 1} g_{1} \notin G_{x}

g_{2}^{- 1} g_{1} \cdot x \neq x

g_{2} \cdot (g_{2}^{- 1} g_{1} \cdot x) \neq g_{2} \cdot x

(g_{2} g_{2}^{- 1} g_{1}) \cdot x \neq g_{2} \cdot x

g_{1} \cdot x \neq g_{2} \cdot x

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21:36 Uhr, 10.04.2022

Ok das habe ich verstanden. Für Subjektivität muss ich ja erstmal allgemein gesagt zeigen, dass für jedes y mindestens ein x existiert, sodass f(x)=y erfüllt ist. Oder aber hier auf das Beispiel:

Es existieren g und g', sodass für jedes

g ʹ • x

ein

g G_{x}

existiert, sodass gilt

g G x = g ʹ • x

mit g, g' aus G.

Ich bin leider auch hier am Anfang planlos... Ich habe im Internet gefunden, dass eine Abbildung offensichtlich surjektiv ist, wenn f[A]=B ob das irgendwie Verwendung finden kann weiß ich nicht. Aber ich muss ja Zeigen, dass jedes Bild mindestens ein Urbild hat. Und das Bild ist ja g•x. g•x = x .... Ich bitte hier auch wieder um Erklärungen....

Sollte das richtig sein, bin ich auch hier planlos beim Anfang.... Geschweige denn bei Aufgabe (iii).

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08:08 Uhr, 12.04.2022

Surjektivität ist trivial. Du musst ja zeigen, dass für die Abbildung

F : g G_{x} \to g \cdot x

für jedes

g \cdot x

ein sagen wir mal

H

aus

G / G_{x}

existiert, so dass

F (H) = g \cdot x

.
Es ist klar, dass man einfach

H = g G_{x}

nehmen kann.

(iii) ist auch einfach. Wenn

G

endlich ist, dann natürlich auch

G / G_{x}

endlich, man weiß sogar nach dem Satz von Lagrange ( de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Lagrange, dass

G / G_{x}

genau

∣ G ∣ / ∣ G_{x} ∣

Elemente hat. Da in (ii) gezeigt wurde, dass zwischen

[x]

und

G / G_{x}

eine Bijektion existiert, hat auch

[x]

genausoviele Elemente.

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12:41 Uhr, 12.04.2022

Danke Dir für die Hilfe :-)

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