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Gruppen Eigenschaften beweisen?

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Abgeschlossenheit, Assoziativität, Gruppen, inverses element, Menge, neutrales Element

anonymous

16:07 Uhr, 29.03.2017

Hallo,
ich komme an dieser Aufgabe nicht weiter. Kann da jemand helfen?

M = {(x, y)

€

ℕ

²:

x | y}

mit Paaren

(x, y)

/ ℕ

² ist das kartesische Produkt aus der Menge der natürlichen Zahlen und sich selbst

(ℕ x ℕ)

Ist

(M, +)

ein Gruppoid, eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine Gruppe?
Die Addition ist definiert als:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

.

Meine Ideen:

1)

Assoziativität:

(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a + c, a + d, b + e, b + f) = y

((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = (e + a, e + b, f + d, f + c) = x

x \neq y

2)

Neutrales Element:

(a, b) + e = (a, b)

e = (0,0)

(a, b) + (0,0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)

Neutrales Element ist vorhanden

3)

Inverses Element:

(a, b) + (- a, - b) = (0,0)

Inverses Element ist vorhanden

4)

Abgeschlossenheit:

Die natürlichen Zahlen sind bezüglich der Addition abgeschlossen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

16:20 Uhr, 29.03.2017

Hallo,
zu 3): wieso ist

(- 1, - 1) \in M

?
Ferner musst Du auch die Bedingung: nur dann

(x, y) \in M

, wenn

x ∣ y

gilt, berücksichtigen.
Das kommt in Deiner
Argumentation gar nicht vor. Vielleicht ist

M

nicht einmal abgeschlossen bzgl.

+

anonymous

16:31 Uhr, 29.03.2017

ah, da hast du recht. Also wäre ein Inverses Element nicht gegeben. Eben weil Zahlen kleiner null nicht in der Menge der natürlichen Zahlen vorhanden ist.

Dieses

x | y

hab ich zunächst als "x ist ein Teiler von y" verstanden, aber in einem Wikipedia Artikel habe ich gelesen, dass man damit auch ausdrücken kann,

x | y

ist ein abgeschlossenes Paar (2-er Tupel) ( de.wikipedia.org/wiki/Geordnetes_Paar unter 1. Notation).
Ist es das worauf du hinaus willst? Oder habe ich hier etwas komplett ausgelassen?

ermanus aktiv_icon

16:46 Uhr, 29.03.2017

Hallo,
der Wikipedia-Artikel sagt, dass das Trennzeichen auch statt des Kommas ein "|"
sein kann, die Klammern verschwinden dann aber nicht.
"

x ∣ y

" soll ganz sicher "x teilt y" bedeuten.
Wie ist es denn mit

(1, 2) + (1, 3)

?
Liegt die Summe in

M

?
Deine Überprüfung der Assoziativität ist falsch. Es können
bei dieser Rechnerei doch nicht plötzlich 4-Tupel auftreten.

anonymous

17:39 Uhr, 29.03.2017

ja da kommt

(2,5)

raus und stimmt, das ist nicht in der Menge enthalten

\frac{:}{}

leider komme ich jetzt nicht wirklich weiter. kannst du dir vielleicht die zeit nehmen mir eine lösung zu entwerfen? leider habe ich keine ähnlichen aufgaben im netz gefunden und habe deshalb keine referenzen, sonst würde ich es versuchen.

ermanus aktiv_icon

17:47 Uhr, 29.03.2017

Du solltest auch gar nicht weiter kommen;
denn sowohl Gruppoid, Halbgruppe, Monoid als auch Gruppe setzen voraus,
dass die Menge bzgl. der Verknüpfung abgeschlossen ist. Da dies nicht der Fall ist,
ist

M

weder ein Gruppoid, noch eine Halbgruope, noch Monoid, noch eine Gruppe.
Du bist also fertig!

anonymous

17:52 Uhr, 29.03.2017

vielen dank soweit. hat sehr geholfen. nur noch eine frage: angenommen dieses

x | y

würde nicht dort dastehen. wie würde dann in diesem fall der beweis zur assoziativität gehen? du hast ja gesagt es können nicht auf einmal 4 tupel rauskommen, was ich verstehen kann, aber wie würde man diese verknüpfung dann richtig aufschreiben?

ermanus aktiv_icon

18:00 Uhr, 29.03.2017

((a, b) + (c, d)) + (e, f) = (a + c, b + d) + (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f) (*)

.
Nun gilt in

ℕ

das Assoziativgesetz, also in den beiden Komponenten
unserer Paare. Daher ist die rechte Seite von

(*)

= (a + (c + e), b + (d + f)) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a, b) + ((c, d) + (e, f))

.

Gruß ermanus

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