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Gruppen, Halbgruppen? Und was sind das für Zeichen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Tags: Gruppe Halbgruppe

Rasaphar aktiv_icon

00:08 Uhr, 10.11.2009

Hallo zusammen,

Aufgrund von Krankheit in der letzten Woche(nein, keine Schweinegrippe :-P))
konnte ich mich lediglich zu den Pflicht-Übungsstunden schleppen, blieb der Uni aber weitesgehend fern.
Nun habe ich ein Aufgabenblatt vor mir, bei dem ich halt, sagen wir es mal so, $x$ viel verstehe $\lim_{x \to 0} .$

Aufgabe1)

Man gebe eine Halbgruppe (H, $\cdot$ ) an, die keine Gruppe ist, aber beide folgenden Eigenschaften besitzt.

$\exists e \in H \forall g \in H : g \cdot e = g (E x i s t e n z e i n e s r e c h t s n e u t r a l e n E l e m e n t s)$

Hinweis: Wähle "H" möglichst klein.

Also folgendes: Ich verstehe weder die Syntax dieser Aufgabe (Was soll das $\cdot$ sein?) Noch habe ich auch nur einen Ansatz.

Ferner treffe ich im Skript auf die Begriffe (Innere und Äußere Verknüpfung,

Körper K $(\oplus, \cdot)$ , oder dergleichen)

Leider ist unser Skript fürn A......

Ich habe Mathe nur als Nebenfach, kenne somit kaum Leute aus den Vorlesungen und würde mich sehr sehr sehr darüber freuen, wenn mir einer (oder mehrere) Leute mal eine Musterrechnung und einen Crashkurs durch den ganzen Syntaxwald der Algebra geben könnten. Habe diese Internetseite heute entdeckt, ist sofort meine Startseite geworde und ich werde mich hier wohl sehr oft aufhalten. Tolle Seite btw.

Danke schonmal für die Antworten

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

m-at-he

07:40 Uhr, 10.11.2009

Hallo,

die Sache mit dem "Punkt" bekommst Du hier am besten erklärt:
de.wikipedia.org/wiki/Halbgruppe

Das mit dem

K (\oplus, \cdot)

hier (wobei Du die Klammern falsch gesetzt hast!):
de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_(Algebra)

Zu den inneren und äußeren Verknüpfungen kann ich das am besten an einem Beispiel erklären. Es könnte sein, daß ihr beweisen oder widerlegen sollt, daß die ganzen Zahlen

ℤ

mit der Verknüpfung

\oplus,

also

(ℤ, \oplus),

eine Halbgruppe bildet, wenn

\oplus

wie folgt erklärt ist:

\oplus : ℤ \times ℤ \to ℤ, z_{1} \oplus z_{2} = 2^{z_{1}} \cdot 2^{z_{2}} = 2^{z_{1} + z_{2}}

Dann ist

\oplus

natürlich die innere Verknüpfung, die beiden

\cdot

und

+

sind äußere Verknüpfungen (die "normale" Multiplikation und die "normale" Addition ganzer Zahlen), mittels der die innere Verknüpfung definiert wird. Das selbe gilt auch für Körper und dort gibt es halt 2 innere Verknüpfungen. Als konkretes Beispiel könnte es Aufgabe sein, nachzuweisen oder zu widerlegen daß

(ℤ, \oplus, ⊙)

ein Körper ist:

(ℤ, \oplus, ⊙)

mit

\oplus

wie oben und

⊙

gemäß:

\oplus : ℤ \times ℤ \to ℤ, z_{1} \oplus z_{2} = {(2^{z_{1}})}^{z_{2}} = 2^{z_{1} \cdot z_{2}}

Äußere Verknüpfungen sind hier die Multiplikation und die Potenzfunktion.

Rasaphar aktiv_icon

08:25 Uhr, 10.11.2009

Ich möchte dir zwar nicht unser LinA Skript zumuten, aber ich zitiere:

(K, +, .) ist ein Körper......

Das K steht in der Klammer, hat das nun eine andere Bedeutung?

Rasaphar aktiv_icon

08:25 Uhr, 10.11.2009

Ich möchte dir zwar nicht unser LinA Skript zumuten, aber ich zitiere:

(K, +, .) ist ein Körper......

Das K steht in der Klammer, hat das nun eine andere Bedeutung?

hagman aktiv_icon

19:53 Uhr, 11.11.2009

JA.
"(K,

+, \cdot)

ist ein Körper"
bedeutet
0.

K

ist eine Menge und

+ : K \times K \to K

und

\cdot : K \times K \to K

sind Verknüpfungen darauf
1.

(K, +)

ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element werde mit 0 bezeichnet
2.

(K \ {0}, \cdot)

ist eine abelsche Gruppe.
3. Es gilt

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

für alle

a, b, c \in K

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