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Gruppen, Untergruppen usw.
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Untergruppen, Zyklenschreibweise
 
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Hi! Ich versuch grad mir das Thema Gruppen etwas näher zu bringen. Ich bin dabei auf folgendes Beispiel gestoßen: "Man bestimme alle Untergruppen der Gruppe S3 aller Permutationen von drei Elementen mit der Operation der Hintereinanderausführung." Da ich mich mit dieser Thematik noch nicht so sehr beschäftigt habe, habe ich nun einige Fragen zur Lösung eines solchen Beispieles. Wie ich herausgefunden habe, bedeutet S3 ja eine symmetrische Gruppe mit 3 Elementen. Also S = {1,2,3}. Jetzt brauch ich alle Untergruppen. Meine Frage ist nun wie ich drauf komm? Also ich weiß zumindest mal das man Gruppentafeln machen kann so etwas in der Art: x 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Das heißt es gibt schonmal diese 3 Untergruppen, also {2,3,1}, {3,1,2} und {1,2,3}. Und weiter?! Ich kenn mich da irgendwie nichtmehr aus, bitte helft mir, dass ich diese ganze Thematik ein wenig besser versteh und auf die Lösung solcher Beispiele komm :-) Danke schonmal im Voraus! Lg Oli Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, irgendwie hast du das mit den Untergruppen noch nicht richtig verstanden. In deinem Beispiel sind NICHT die drei Zeilen in der Verknüpfungstabelle Untergruppen. Das passt schon strukturell nicht! Die enthält Elemente. Als Abbildungen geschrieben sind es 123 123 123 123 123 123 123 213 321 132 231 321 Das erste Element ist das neutrale Element der Gruppe (bedenke, die enthält alle bijektiven Abbildungen einer dreielementigen Menge in sich), da sie als Abbildung die Identität ist. Daher verwenden wir das Kürzel . Die nächsten drei Abbildungen vertauschen nur jeweils zwei Elemente und lassen das jeweils letzte fix. Sie heißen Tranpositionen. Man kürzt sie der Reihe nach (in Zykelschreibweise) mit , bzw. ab. Die letzten beiden Abbildungen vertauschen die drei Elemente im bzw. gegen den Uhrzeigersinn. In Zykelschreibweise sind dies also die Elemente bzw. . Nun zu den Untergruppen. Stets hast du bei den Untergruppen das neutrale Element als solches als Untergruppe: Untergruppen mit nur zwei Elementen sind: , und . Untergruppen mit genau drei Elementen gibt es nur eine: Weitere Teiler der Gruppenordung 6 gibt es bis auf die 6 selber keine. Folglich ist die letzte Untergruppe. Die Aufstellung wird dir allerdings nicht viel nutzen (es sei denn, die absolut gleiche Aufgabe käme irgendwie dran). Soll heißen, es scheint mir geboten, sich das Kapitel über Gruppen noch einmal vor Augen zu führen. Mfg Michael |
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Danke für die Antwort! 123 123 123 123 123 123 123 213 321 132 231 321 Du hast da diese 6 Abbildungen aufgeschrieben. Die ersten 4 sind mir klar. Dann hast du bei den letzten geschrieben, dass man sie im bzw. gegen den Uhrzeigersinn vertauscht. Verstehe ich das nun so richtig: 123 gegen den Uhrzeigersinn vertauschen: 3 geht an die Position der 2, 2 geht an die Position der 1 und 1 geht an die Position der 3 --> 231 das wäre die 5. Lösung wenn ich das gleiche Prinzip jetzt im Uhrzeigersinn anwende: 3 geht an die Position der 1, 2 geht an die Position der 3 und 1 geht an die Position der 2 --> 312 Du hast aber 321 geschrieben (das wäre ja identisch wie Lösung 3). Hast du dich da verschrieben oder hab ich das wieder falsch verstanden? ------------- Zu den Untergruppen: laut meinem Buch müsste es ja mal zwei triviale Untergruppen geben: 1. nur das neutrale Element und 2. alle Elemente (stimmt das soweit?) Wie stell ich jetzt in der Gruppe S3 das neutrale Element fest? Also welches der 6 oben genannten Elementen ist das neutrale? Und wie genau kommt man auf diese Untergruppen? Danke für die Hilfe mit diesem, für mich, etwas unverständlichem Thema :-) Lg Oli |
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Hallo, gut, ich hab den Tippfehler nicht gesehen, aber du hast recht! Die trivialen Untergruppen (also die, die es immer gibt) sidn also und , also di Gruppe bestehend aus nur dem neutralen Element und die gesamte Untergruppe. Weitere Untergruppen erhält man, indem man neben dem neutralen Element nur ein weiteres nimmt und versucht, daraus eine Gruppe zu machen. Sicher habt ihr so einen Satz, der erläutert, wie man aus einer Teilmenge eine Untergruppe macht. So was musst du hier durchführen. Bei endlichen Gruppen ist die Sache einfach, Inverses eines Elementes ist stets eine Potenz . Also suchst du erst einmal die Untergruppen, die von nur einem Element erzeugt werden. Besonderheit bei dieser Gruppe ist, dass schon beu zwei Elementen die ganze Gruppe erzeugt wird (sofern die Elemente nicht Inverse zueinander sind). Alles klar? Mfg Michael |
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