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Gruppen der Ordnung pq Beispiel
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Algebraische Zahlentheorie
Tags: Algebraische Zahlentheorie, Gruppen
 
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Hallo! Ich bin gerade dabei ein Skript über Algebra und Zahlentheorie zu lesen und verstehe ein konkretes Beispiel nicht. Grundsätzlich ist das Beispiel eine Anwendung für Sylowgruppen. Hierbei zitiere ich das konkrte Beispiel/Anwendung aus dem Skript: "Bemerkung Eine Anwendung Wir illustrieren eine m¨ogliche Anwendung dieses Satzes (Sylowsatz). Es seien zwei verschiedene Primzahlen und eine Gruppe der Ordnung p·q. Sie besitzt genau eine -Sylowgruppe denn 1 ist der einzige Teiler von der bei Division durch Rest 1 l¨asst. Diese -Sylowgruppe ist also ein Normalteiler von G. Es sei eine -Sylowgruppe (davon gibt es vielleicht mehrere). ist isomorph zu und wir k¨onnen als Nebenklassenvertreter von w¨ahlen: xy ∈ ∈ . und sind beide zyklisch, da sie von Primzahlordnung sind. Es sei ξ ein Erzeuger von und η ein Erzeuger von Q. Dann ist ξ^a*η^b| 0 ≤ a ≤ − ≤ ≤ − . Damit haben wir und mit Z/qZ bzw. Z/pZ identifiziert. Wenn wir uns jetzt noch merken, wie durch Konjugation auf operiert, dann k¨onnen wir aus diesen Bausteinen rekonstruieren. Die Operation aber k¨onnen wir fur die Erzeuger schreiben als ¨ ξηξ^(−1) = η^c , es folgt allgemein ξ^a*η^b^*ξ^(−a) = η^(b*c^a) , und damit k¨onnen wir beliebige Produkte in auf Produkte in und zuruckf ¨ uhren. ¨ Dies ist ein Spezialfall des semidirekten Produkts zweier Gruppen. Insbesondere erzwingt die Wohldefiniertheit der Aktion auf dass die Zahl die Eigenschaft ≡ hat. (Ab hier kann ich die Argumentation nicht nachvollziehen:-) Wenn also modulo nicht 1 ist, dann verbietet uns Lagrange (als Fermat verkleidet) die M¨oglichkeit einer nichttrivialen Operation, und ξ vertauscht mit η. In diesem Fall ist also abelsch. Das trifft fur jede Gruppe der Ordnung ¨ . . . zu." Ich würde mich über eine Erklärung des letzten Abschnittes freuen. :-) Grüße, Max. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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