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Gruppen der Ordnung vier, Gruppentafeln

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Gruppentafeln, Isomoprhimus

 
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xxsaimenxx

xxsaimenxx aktiv_icon

19:57 Uhr, 14.10.2012

Antworten
Ich verstehe nicht, was alle Gruppen der Ordnung vier sind...
Gruppentafel ist mir klar wies geht.
Bestimme (bis auf Isomorphie) alle Gruppen der Ordnung 4 und erstelle die zugehörigen
Gruppentafeln.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Sina86

Sina86

20:36 Uhr, 14.10.2012

Antworten
Hi,

z.B. kann man dieselbe Frage für Gruppen der Ordnung 3 stellen. Lass also (G={e,a,b},*) eine Gruppe der Ordnung 3 (also 3 Elemente) sein. Dann ist e das neutrale Element der Gruppe, das durch die Gruppenbedingungen garantiert wird.

Es ist klar, dass e*a=e*a=a und e*b=b*a=b. Nun muss ich mir überlegen, was mit a*a, b*b und a*b ist. Angenommen es ist a*a=a, dann ist a=e was ein Widerspruch zur Eindeutigkeit von e ist.

Angenommen es ist a*a=e. Dann ist a*b≠e (Eindeutigkeit des inversen Elements). Ist a*b=a⇔a*a*b=a*a⇔e*b=b=e, Widerspruch! Angenommen es ist a*b=b⇔a*a*b=a*b⇔b=a*b⇔a=e, Widerspruch! Da wir in jedem Fall einen Widerspruch bekommen, muss a*a≠e sein. Damit bleibt nur die Möglichkeit a*a=b.

Analog zeigt man b*b=a.

Damit bleibt für a*b nur noch a*b=e. Damit sind alle möglichen Verknüpfungen zwischen den Elementen erklärt, denn aus a*b=e folgt auch b*a=e. Insbesondere ist G kommutativ. Jede Gruppe mit 3 Elementen muss also kommutativ sein.

Bis auf Isomorphie bedeutet nun, wenn ich eine konkrete Gruppe mit 3 Elementen nehmen, z.B. (ℤ3,+), so entsprechen alle Verknüpfungen der oberen Tabelle. Da es nur eine Tabelle gibt, müssen also auch alle Gruppen mit 3 Elementen isomorph zueinander sein.

Bei 4 Elementen wird das dann natürlich etwas komplizierter...

Lieben Gruß
Sina
xxsaimenxx

xxsaimenxx aktiv_icon

11:45 Uhr, 15.10.2012

Antworten
Nun habe ich also 4 Elemente: {G(a,b,c,e)*}

also gilt folgende Tafel:

...a . b . c . e
---------------------------
a|..............a

b|..............b

c|...............c

e| a . b . c . e

das verstehe ich noch, da x* das neutrale Element immer x gibt.
aber jetzt bei a*c und a*b was gibt das? ich weiss, dass a*a nicht a sein kann. Aber ich denke, das es auch nicht b oder c ist (kann aber nicht logisch erklären weshalb) dann müsste a*a=e sein und a*b=c und a*c=b, da ich pro Zeile jedes Element nur einmal verwenden darf...

dann sieht die Tafel folgendermassen aus:

--a b c e
---------------------------
a| e c b a

b| c e a b

c| b a e c

e| a b c e

stimmt das?
falls es stimmt, müsste ich ja noch logisch erklären können, weshalb a*b=c
wie kann ich das erklären?