 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Gruppen mit Matrizen!
Gruppen mit Matrizen!
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
|
  |
|---|
|
Wir arbeiten in der Gruppe GL_2(C). (1) Wie bestimme ich alle komplexen Zahlen, die als Eigenwerte von Matrizen A ∈ GL_2(C) mit endlicher Ordnung auftreten können. (2) Wie zeige ich, dass GL_2(Z) eine unendliche Untergruppe von GL_2(C) ist. (3) Wie zeige ich, dass eine Matrix A ∈ GL_2(Z) nur die Ordnungen 1, 2, 3, 4, 6 und unendlich haben kann. Vielen Dank im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
|
 |
|
(1) Wie bestimme ich alle komplexen Zahlen, die als Eigenwerte von Matrizen A ∈ GL_2(C) mit endlicherOrdnung auftreten können. Wenn endliche Ordnung hat, dann für ein . Wenn jetzt ein EW von ist, dann muss gelten. Damit muss eine Einheitswurzel sein. Es ist leicht zu sehen, dass jede Einheitswurzel ein EW von einer Matrix mit endlichen Ordnung ist. (2) Wie zeige ich, dass GL_2(Z) eine unendliche Untergruppe von GL_2(C) ist. Sie ist keine Untergruppe, z.B. die Inverse zu ist nicht in . (3) Wie zeige ich, dass eine Matrix A ∈ GL_2(Z) nur die Ordnungen 1, 2, 3, 4, 6 und unendlich haben kann. Vielen Dank im Voraus! Das ist ziemlich interessant. S. z.B. hier: matheraum.de/forum/matrizen_endlicher_ordnung/t543900 |
|
|
|
Hallo, ich verstehe unter die Gruppe der invertierbaren -Matrizen mit ganzzahligen Einträgen, d.h. die Gruppe der ganzzahligen -Matrizen, deren Determinante ist. Gruß ermanus |
|
|
|
Zu (2): Mache dir Gedanken über die Matrizen der Form . Gruß ermanus |
|
|
|
Wenn die invertierbaren Matrizen sind, also mit , dann ist es klar eine Untergruppe. Dass Produkte von ganzzahligen Matrizen ganzzahlig sind, ist trivial. Aber auch dass Inversen ganzzahlig sind, ist es einfach zu sehen, wenn man die Inverse nach Cramer berechnet. |
|
|
|
Hallo, zu (3) eine Idee: DrBoogie hat ja zu (1) schon klargemacht, dass die Eigenwerte der Matrizen endlicher Ordnung n-te Einheitswurzeln sind. Andererseits sind die Eigenwerte Wurzeln des charakteristischen Polynoms. Man überlege sich also, welche Gestalt das in diesem Falle ganzzahlige normierte Polynom 2-ten Grades haben kann ... Gruß ermanus |
|
|
|
Es geht sogar ein Stück einfacher, wenn man bedenkt, dass die Spur die Summe der Eigenwerte ist und die Determinante deren Produkt. |
|
|
|
DrBoggie, da hast du Recht. Ich habe halt in meinem Kopf die Kreisteilungspolynome max. 2-ten Grades: . Hierzu gehören die 1-ten, 2-ten, 3-ten, 4-ten und 6-ten primitiven Einheitswurzeln. Gruß ermanus |
 |
|
Hey, vielen Dank ich habe schon die erste und zweite Aufgabe schon gelöst aber ich komme bei der dritten Aufgabe immer noch nicht weiter! ich habe es verstanden was mit der Aufgabe gemeint aber ich komme mit dem Beweis nicht weiter! |
|
|
|
Wenn von der Ordnung ist, also , dann gilt für beide Eigenwerte von , und (sie können auch gleich sein). Also, beide sind -te Einheitswurzeln, damit gilt mit passenden aus . Nun, die Spur der Matrix ist die Summe der Eigenwerte und die Determinante ist das Produkt davon, also Spur = und Det= . Beide Spur und Determinante sind aber ganzahlig, weil die Matrix ganzahlig ist. Also die Frage ist, wann sind und beide ganzzahlig. Die letzte Bedinung läuft auf oder hinaus, also oder . Bleibt jetzt nur die erste Bedingung zu nutzen ( ganzzahlig). |
 |
|
Ju, jetzt habe ich es gut verstanden warum sie nur die Ordnungen 1 2 3 4 und 6 hat, vielen Dank! :-) |
1514633
1514559