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Fluktuation23

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19:59 Uhr, 10.02.2021

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Gegeben: endliche Gruppe G
Ich möchte zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) die Untergruppen von G sind bezüglich der Inklusion vollständig geordnet
(ii)G ist zyklisch erzeugt mit |G|=pn für eine Primzahl p und eine Zahl n∈ℕ

Mein Ansatz: Betrachtet man als Beispiel G=[3,9,27,17,19,25,11,1] so fällt auf, dass G zyklisch erzeugt wurde, nämlich G={3nmod32,n∈ℕ}. Die Ordnung von G ist 23

Die Gruppe erfüllt also scheinbar (ii). Die Untergruppen von G sind
[3,9,27,17,19,25,11,1]

[9,17,25,1]

[27,25,3,17,11,9,19,1]

[17,1]

[19,9,11,17,3,25,27,1]

[25,17,9,1]

[11,25,19,17,27,9,3,1]

[1]

Wie zu erwarten teilen die Ordnungen der Untregruppen die Ordnung von G. Nun versuche ich den Punkt (i) in den Untergruppen wiederzuerkennen. Dazu muss ich erstmal wissen, was "bezüglich der Inklusion vollständig geordnet" überhaupt heißt (?). Wenn ich das richtig verstehe bedeutet das so viel wie: "In den Untergruppen sind maximal viele Elemente aus G enthalten". Aber das muss ich wohl falsch verstanden haben, denn die Untergruppen haben ja auch Ordnungen wie 1,2,4, sind also kleiner als |G|. Weis jemand wie das zu verstehen ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:16 Uhr, 10.02.2021

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"Dazu muss ich erstmal wissen, was "bezüglich der Inklusion vollständig geordnet" überhaupt heißt (?). Wenn ich das richtig verstehe bedeutet das so viel wie: "In den Untergruppen sind maximal viele Elemente aus G enthalten"."

Nein, das bedeutet, dass {e}⊂U1⊂U2⊂...⊂Un⊂G gilt, wobei Ui alle Untegruppen von G außer {e} und G sind.

Wenn z.B. die Gruppe G={0,1,2,3,4,5} mit Addition Mod 6 ist, dann können wir keine solche Kette aus Untergruppen bilden, denn {0,3} und {0,2,4} sind beide Untergruppen und keine von beiden liegt in der anderen.
Auf der anderen Seite für G={0,1,2,3,4,5,6,7} mit Addition Mod 8 gibt's solche Kette:
{0}⊂{0,4}⊂{0,2,4,6}⊂G, denn es gibt keine anderen Untegruppen.
Fluktuation23

Fluktuation23 aktiv_icon

00:14 Uhr, 11.02.2021

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Ah, jetzt ergibt es Sinn, vielen Dank schon mal. Ich versuche non herauszufinden, warum Aussagen (i) und (ii) identisch sind.

Es gibt ja im Grunde nur die Untergruppen

G0=[1]
G1=[17,1]
G2=[9,17,25,1]
G3=[3,9,27,17,19,25,11,1]

mit
|G0|=20
|G1|=21
|G2|=22
|G3|=23

Wir wissen, dass |G|=pn ist, deshalb können die Untegruppen, nur Ordnungen p0,p1,...,pn haben. Wir wissen, dass in G ein Generator g ist, sodass <g>G3 erzeugt

G2⊂G3 ist klar, weil G3 alle Elemente beinhaltet
G1⊂G2 ist weniger offensichtlich. Warum muss G1⊂G2 sein? Es hat wahrscheinlich etwas mit der Tatsache (ii) zu tun. Es lässt sich beobachten, dass

<g>=G3
<g2>=G2
<(g2)2>=G1
<...>=G0

Wie kann man diese Beobachtungen theoretisch erklären?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:44 Uhr, 11.02.2021

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"(i) die Untergruppen von G sind bezüglich der Inklusion vollständig geordnet
(ii)G ist zyklisch erzeugt mit |G|=pn für eine Primzahl p und eine Zahl n∈ℕ"

Der Beweis von (i) => (ii) kann z.B. so gehen:
wir haben {e}⊂G1⊂...⊂Gk⊂G, wobei hier alle Untegruppen von G stehen.
Sei g ein Element von G mit der größten Ordnung. Dann ist 〈g〉 eine Untergruppe von G. Nehmen an, dass 〈g〉≠G. Dann gibt's ein h in G, so dass h∉〈g〉. Betrachten die Untergruppe 〈h〉. Es muss gelten 〈g〉⊂〈h〉 oder 〈h〉⊂〈g〉, dabei sind diese Untergruppen nicht gleich, wegen h∉〈g〉. Aber wenn 〈g〉⊂〈h〉 gilt, hat 〈h〉 mehr Elemente als 〈g〉, also hat h größere Ordnung als g - Widerspruch. Und wenn 〈h〉⊂〈g〉 gilt, haben h∈〈g〉 - auch ein Widerspruch. Also kann es kein h geben, dass nicht in 〈g〉 liegt. Damit gilt G=〈g〉 und G ist zyklisch.

Nehmen jetzt an, dass Primzahlen p≠q existieren, so dass p und q beide ∣G∣ teilen. Seien m und l die größten Potenzen, so dass pm und ql beide ∣G∣ teilen, also ∣G∣=pmqls und s ist teilerfremd mit p und q.
Betrachten die Untegruppen 〈gp〉 und 〈gq〉.
Es muss gelten 〈gp〉⊂〈gq〉 oder 〈gq〉⊂〈gp〉. Betrachten die erste Inklusion. Es folgt gp=(gq)j=gjq für ein j. Daraus folgt p=qj mod pmqls, was nicht möglich ist, denn p ist nicht teilbar durch q, aber qj und pmqls sind. Genauso wird gezeigt, dass auch die zweite Inklusion nicht möglich ist. Damit muss die Annahme falsch sein, dass Primzahlen p≠q existieren, so dass p und q beide ∣G∣ teilen. Also ist ∣G∣ eine Potenz einer Primzahl ist.


Der Beweis von (ii) => (i) ist einfacher:
G=〈g〉 und ∣G∣=pn => ord(g)=pn.
Wir haben dann die Kette {e}⊂〈gpn-1〉⊂〈gpn-2〉⊂...⊂〈gp〉⊂〈g〉=G.
Nehmen jetzt an, dass es eine Untegruppe H existiert, die nicht in dieser Kette ist.
Als eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist H selbst zyklisch. Sei gk0 ein Erzeuger von H. Nach Lagrange muss die Ordnung von gk0 die Ordnung von G teilen, also ord(gk0)=pl mit einem l≤n. Damit haben ord(g)=k0pl und auf der anderen Seite ord(g)=pn => k0=pn-l. Und damit H=〈gpn-l〉, also ist H in der Kette schon vorhanden. Das beweist alles.



Frage beantwortet
Fluktuation23

Fluktuation23 aktiv_icon

16:45 Uhr, 11.02.2021

Antworten
Vielen Dank. Dank der Erklärung verstehe ich es nun :-)