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Gruppen:Menge von N und Q

Schüler Gymnasium,

Tags: Gruppe

anonymous

20:28 Uhr, 23.10.2015

Abend alle zusammen,

ich habe einige Aufgaben, die ich bearbeiten soll; unter der Aufgabe
schreibe ich meine Vermutung auf.

1.) Die ganzen Zahlen ( ℕ ) sind eine Gruppe bezüglich der Addition. Was ist

e

(das neutrale Element) dort ?
Antwort: 0

2.) Warum ist ℕ keine Gruppe bezüglich der Multiplikation?"
Antwort: / (weiß es leider nicht)

3.) Die rationalen Zahlen ohne die Null ( ℚ \ {0} ) sind eine Gruppe.
Was ist

e

, was ist das Inverse?

Antwort:

e

ist 1

Danke schon mal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

21:08 Uhr, 23.10.2015

zu 1:
korrekt. das neutrale Element wird wie folgt definiert: a verknüpft

e = e

verknüpft a

e

ist das neutrale Element. Und bei der Addition ist es die Null, bei der Multiplikation die 1

zu 2:
Zuerst: was ist eine Gruppe. eine Gruppe ist dann eine Gruppe, wenn es die Eigenschaften erfüllt:
- es muss Verknüpfungen angewendet werden können
- es muss ein neutrales element existieren
- es muss assoziativ sein
diese Sachen MÜSSEN erfüllt werden, damit es eine Gruppe ist. zusätzlich ist es eine Abelsche Gruppe, wenn es zu den dreien kommutativ ist. muss es aber nicht.

nehmen wir als Verknüpfung die division: 2 durch

3 =

?? :-) keine natürliche Zahl. deswegen sind die natürlichen zahlen keine Gruppe

zu3:
nein. wie schon gesagt, ist

e

das neutrale element. das inverse ist immer das Gegenteil.
also ist das inverse von a ?

a^{- 1},

denn

+ a - a = 0; a \cdot a^{- 1} = 0

ich hoffe ich konnte dir helfen

anonymous

22:42 Uhr, 23.10.2015

Hallo Arranza,

erst einmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort!

zu 2.) Warum ist

ℕ

keine Gruppe bezüglich der Multiplikation?

zu 3.) Was ist dann das neutrale Element bei

ℚ ∖ {0}

, wenn nicht

1

?
Und hier ist das Inverse

a^{- 1}

? Habe ich dich richtig verstanden?

Matlog aktiv_icon

01:10 Uhr, 24.10.2015

1 .)

e = 0

ist richtig.

2 .)

Weil fast alle Elemente von

ℕ

kein inverses Element besitzen.

3 .)

e = 1

ist das neutrale Element,

\frac{1}{a}

ist das inverse Element zu

a

.

@ArranZa:
Eine Menge ist nie per se schon eine Gruppe. Dazu gehört immer eine Verknüpfung.

Z . B

. die Aussage

'' ℕ

ist eine Gruppe'' ist also sinnlos.

(ℕ, +)

ist eine Gruppe (wobei hier die Null zu den natürlichen Zahlen gezählt werden muss);

(ℕ, \cdot)

aber nicht.

anonymous

09:33 Uhr, 24.10.2015

Hallo Matlog, auch dir ein großes Dankeschön! :-)

ad 3.) Weil

a / e = a

, ist das inverse Element

e / a = 1 / a

?
Was ich dann nicht verstehe, ist Folgendes:

(1 / a) \div a = 1 / a^{2} = a^{- 2}

anonymous

09:34 Uhr, 24.10.2015

Ups, falschen Status ausgewählt. :-)

Matlog aktiv_icon

10:43 Uhr, 24.10.2015

Du benutzt jetzt bereits weiterführende Rechenregeln innerhalb der rationalen (oder reellen) Zahlen.

Zu

3 .)

Das inverse Element zu a ist

\frac{1}{a},

weil

a \cdot \frac{1}{a} = 1,

wobei 1 das neutrale Element der Multiplikation ist.

"Was ich dann nicht verstehe":
Laut Bruchrechenregeln und Potenzrechnung ist das richtig.
Aber jetzt bist Du von den Gruppenaxiomen schon weit weg.

Am Anfang benutzt man die Schreibweise

a^{- 1}

für das inverse Element von a bzgl. der Multiplikation. Das hat eigentlich noch nichts mit Potenzrechnung zu tun.

anonymous

19:26 Uhr, 25.10.2015

Hallo Matlog,

vielen Dank erst einmal! Du hast von ,,Gruppenaxiomen" geschrieben.
Braucht man diese dann für Homomorphismus? Oder haben Gruppenaxiome nichts
mit Homomorphismus zu tun? Ein Homomorphismus liegt ja dann vor, wenn eine
Abbildung bijektiv ist.

Ein GROSSES Dankeschön im Voraus! :-)

Matlog aktiv_icon

23:32 Uhr, 25.10.2015

Gruppenaxiome sind die Eigenschaften, die eine Menge mit einer Verknüpfung zur Gruppe machen. ArranZa hat versucht, diese aufzuzählen. Es sind das Assoziativgesetz, Existenz des neutralen Elements und Existenz der inversen Elemente.

Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung (mit einer bestimmten strukturerhaltenden Eigenschaft) zwischen zwei Gruppen.
Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.

Noch eine Anmerkung zu Deinen Ausgangsfragen:
Du schreibst dort von den ganzen Zahlen

(ℕ),

die ganzen Zahlen bezeichnet man aber mit

ℤ

.
Ich habe das in meiner Antwort leichtfertig (und falsch) übernommen.

(ℤ, +)

ist eine Gruppe,

(ℕ, +)

aber nicht! (Warum?)

anonymous

13:51 Uhr, 27.10.2015

Hallo Matlog, vielen Dank für die ausführliche Antwort! :-)

1.) Ich dachte, dass ein Homomorphismus dann vorliegt, wenn eine Abbildung sowohl
surjektiv als auch injektiv ist (so hat mein Lehrer es zumindest erklärt).

2.) Also

(ℕ, +)

ist keine Gruppe. Dafür ist es aber

(ℤ, +)

.
Liegt es daran, dass du die natürlichen Zahlen folgendermaßen definierst:

ℕ := {1; 2; 3; 4; 5; . . .}

Obwohl du ja andererseits geschrieben hattest, dass man die

0

als natürliche Zahl definiert.

ledum aktiv_icon

12:50 Uhr, 28.10.2015

Hallo

ℕ +

ist keine Gruppe, weil es keine additiven Inversen gibt-
Gruß ledum

Matlog aktiv_icon

13:06 Uhr, 28.10.2015

Zunächst ein Tipp zu diesem Forum:
Wenn Du einen bereits abgeschickten Beitrag editierst, dann bekomme ich keine Nachricht darüber. Deshalb wurde ich auf Deine zuletzt gestellten Fragen erst durch ledums Antwort aufmerksam.

Zu

1 .) :

Das kann ich kaum glauben!
Kontrolliere lieber nochmal, ob Dein Lehrer das wirklich so erklärt hat.

2 .)

hat ledum bereits beantwortet.

anonymous

19:00 Uhr, 29.10.2015

Abend matlog,

ad 1.) Doch, der Lehrer hat es tatsächlich so erklärt! Ich wende mich mal an ihn
und schreibe dir, was er dazu sagt. :-)

2.) Im Anhang schicke ich dir ein Bild von einer Datei, die ich selber erstellt habe.
Sei doch bitte so nett und guck darauf, um mir mitzuteilen, ob du einverstanden bist.

3.) Im Internet habe ich gefunden, dass

a^{- 1} Δ a = e

.
Kann ich es auch andersherum sagen:

a Δ a^{- 1} = e

?

Liebe Grüße
NeymarJunior

Matlog aktiv_icon

00:18 Uhr, 30.10.2015

1 .)

Richtig wäre:

(G, ~)

und (H,#) Gruppen

f : G \to H

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle

a, b \in G

f(a~b)=f(a)#f(b)
Wenn

f

zusätzlich bijektiv ist, dann heißt

f

Gruppenisomorphismus.

2 .)

Ich würde deutlicher betonen, dass nicht eine Menge eine Gruppe ist und dort eine Verknüpfung existiert, sondern eine Menge ZUSAMMEN mit einer Verknüpfung eine Gruppe bildet.

3 .)

Was ich weiß:
Die Forderungen

e Δ a = a

zusammen mit

a^{- 1} Δ a = e

oder

a Δ e = a

zusammen mit

a Δ a^{- 1} = e

sind äquivalent.
Ob man das aber auch mischen kann, also

z . B

e Δ a = a

zusammen mit

a Δ a^{- 1} = e,

da bin ich jetzt überfragt. (Ich habe Zweifel, dass das auch äquivalent ist.)

anonymous

16:14 Uhr, 30.10.2015

2.) und 3.): Alles klar!

ad 1.) Du verwendest

(H, #)

Ich habe mal Folgendes gesehen:

(H, ⊙)

Beides ist wahrscheinlich richtig, oder?

1.2) Ich kenne folgende Definition:

(G, \cdot)

und

(H, ⊙)

seien Gruppen.
Homomorphismus heißt jede Abbildung

φ : G \to H

,
die folgender Bedingung genügt:

φ (a \cdot b) = φ (a) ⊙ φ (b)

\forall a, b \in G

Was meinst du? ;-)

Matlog aktiv_icon

17:36 Uhr, 30.10.2015

Das ist alles richtig so!
(Ich habe für die Verknüpfungen nur wahllos irgendein Zeichen genommen.)

anonymous

18:45 Uhr, 30.10.2015

Abend Matlog,

danke, danke, danke; ein schönes Wochenende dir noch! :-)

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