Gruppenaxiome/abelsche Gruppen

Wir haben da so ne Aufgabe in unserem Lk aufbekommen und ich hab leider gar keine Ahnung von den Grundlagen dafür...

Es geht um "Gruppenaxiome". Hier erstmal die Aufgabe:

In R (reele Zahlen) sei folgende Verknüpfung (+) definiert:
a(+)b=a+b+5 für alle a,b, Element aus R

a) weise nach, dass (r,(+)) eine abelsche Gruppe ist.

b) untersuche ob (R,(+),(.))ein Vektorraum über R ist wobei (+) die in Aufg. a) definierte Addition darstellen soll und die S-Multiplikation wie folgt definiert ist r(.)a= 5. Wurzel aus (r.a), r,a Element aus R.

Sorry für die Darstellung ich hoffe es ist trotzdem verständlich. Diese Punkte (.) stehen bei mir übrigens für Multiplikation. Hoffe ihr könnt mir helfen. 

Wäre auch toll wenn mir jemand mal erklären könnte was es mit dem Gruppenbegriff und den 4 Gesetzen die es immer zu beweisen gilt auf sich hat.

Also zu a) erstmal:

Also die Definition einer Gruppe lautet folgendermaßen:

Eine Menge G heißt Gruppe wenn folgendes erfüllt ist:

i) assoziativität: d.h. (a ${\displaystyle \oplus }$ b)${\displaystyle \oplus }$c = a${\displaystyle \oplus }$(b${\displaystyle \oplus }$c) für alle a, b, c${\displaystyle \in }$G

ii)neutrales Element: dh. es gibt ein e${\displaystyle \in }$G mit a${\displaystyle \oplus }$e = e${\displaystyle \oplus }$a = a

iii)inverses Element. dh. für alle a${\displaystyle \in }$G gibt es ein b${\displaystyle \in }$G sodass a${\displaystyle \oplus }$b=b${\displaystyle \oplus }$a = e gilt.

abelsch heißt eine Gruppe wenn zudem gilt:

iv)kommutativität: dh.b a${\displaystyle \oplus }$b=b${\displaystyle \oplus }$a

Dann überprüfen wir diese 4 Dinge in deiner Aufgabe.

zuerst mal assoziativität:

(a ${\displaystyle \oplus }$ b) ${\displaystyle \oplus }$ c= (a+b+5)${\displaystyle \oplus }$c = (a+b+5)+c+5 = (da (R,+) assoziativ) a+b+c + 10 hier wurde nur deine Abbildungsvorschrift angewand.

a${\displaystyle \oplus }$(b${\displaystyle \oplus }$c)=a${\displaystyle \oplus }$(b+c+5)= a+(b+c+5)+5= (da (R,+) assoziativ) a+b+c + 10

zu neutrales Element.

Behauptung -5 ist neutrales Element für (R, ${\displaystyle \oplus }$)

a${\displaystyle \oplus }$-5 = a+(-5)+5 =a-5+5 = a = da ja (R, +) kommutativ ist -5+a+5 = -5${\displaystyle \oplus }$a

zu inverses:

Behauptung für ein beliebiges a ist -a-10 das inverse element

a${\displaystyle \oplus }$(-a-10) = a+(-a-10)+5 = a-a-10+5 = -5

(-a-10)${\displaystyle \oplus }$a = -a-10+a+5 = -5

zu kommutativ:

a${\displaystyle \oplus }$b = a+b+5 = da ja (R, +) kommutativ ist b+a+5 = b${\displaystyle \oplus }$a 

Also folgt: die Menge R mit der Vergnüpfung ${\displaystyle \oplus }$ ist eine abelsche Gruppe.

Nun zu Teil b)

Hier ist nach Definition von Vektorraum zu zeigen dass (R, ${\displaystyle \oplus }$) eine abelsche Gruppe ist und für alle a,b ${\displaystyle \in }$(R, ${\displaystyle \oplus }$) und x,y${\displaystyle \in }$R gilt:

i) assoziativ: dh x${\displaystyle \otimes }$(y${\displaystyle \otimes }$a) = (x*y)${\displaystyle \otimes }$a

ii) distibutionssgesetzte:

x${\displaystyle \otimes }$(a+b) = x${\displaystyle \otimes }$a+x${\displaystyle \otimes }$b

(x+y)${\displaystyle \otimes }$a = x${\displaystyle \otimes }$a+y${\displaystyle \otimes }$a

iii) 1${\displaystyle \otimes }$a = a

soweit ich deinen Text verstehe ist ${\displaystyle \otimes }$ definiert als: a${\displaystyle \otimes }$b=5*${\displaystyle \sqrt{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Damit ist diese abelsche Gruppe kein Vektorraum, denn es gilt z.B. iii) nicht.

1${\displaystyle \otimes }$a = 5*${\displaystyle \sqrt{1*\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ = 5*${\displaystyle \sqrt{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und dies ist im Allgemeinen ${\displaystyle \ne }$a somit Wiederspruch zur Definition von Vektorraum.