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Gruppenbeweis

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13:30 Uhr, 12.05.2016

Hallo,

ich soll die folgende Aussage beweisen:

Sei

(G, ⊙)

eine Gruppe. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für Elemente aus

G :

e \in G

sei das neutrale Element.

{(a ⊙ b)}^{- 1} = b^{- 1} ⊙ a^{- 1}

Ich bin so an die Aufgabe herangegangen:

(

a ⊙ b)^{- 1} ⊙ (a ⊙ b) = e

//Nach der Eindeutigkeit des inversen Elements

(b^{- 1} ⊙ a^{- 1}) ⊙ (a ⊙ b)

= (b^{- 1} ⊙ a) ⊙ (a^{- 1} ⊙ a) ⊙ (b^{- 1} ⊙ b) ⊙ (a^{- 1} ⊙ b)

= b^{- 1} ⊙ a ⊙ e ⊙ e ⊙ a^{- 1} ⊙ b

= b^{1} ⊙ (a ⊙ a^{- 1}) ⊙ b

= b^{- 1} ⊙ e ⊙ b

= e

\Rightarrow {(a ⊙ b)}^{- 1} = (b^{- 1} ⊙ a^{- 1})

Ich bin mir nicht sicher, ob meine Implikation zum Schluss in sich schlüßig ist und ob das Distributivgesetz ohne weiteres angewandt werden darf.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:30 Uhr, 12.05.2016

Du solltest einfach alle Axiome abarbeiten. Darunter wäre beispielsweis auch die Assoziativität. Also für alle

a, b, c

aus der Menge gilt

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

. Jenachdem wieviel ihr bereits in der Vorlesung gezeigt habt kann dies ohne weiteres hingeschrieben werden, ohne ausführlich zu zeigen.

Überleg dir auch mal was das neutrale Element deiner definierten Gruppe ist, und wie die inversen Elemente konkret aussehen. Denke das erleichtert es um einiges.

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16:16 Uhr, 12.05.2016

Inwiefern hilft es die Gruppenaxiome abzuarbeiten? Es wird ja in der Aufgabenstellung schon vorausgesetzt, dass

G

eine Gruppe ist.

Viel kann ich mir darunter leider nicht vorstellen, weil die Variablen für alle möglichen Objekte stehen könnten. Zahlen, Polynome, Vektoren , oder was auch immer.

Ich weiß, dass

a^{- 1}

⊙

a = e

.

Falls wir Zahlen betrachten gilt, falls die Verknüpfung eine Multiplikation ist

e = 1

und

a^{- 1} = \frac{1}{a}

und falls die Verknüpfung eine Addition ist, ist

e = 0

und

a^{- 1} = (- a)

.

Geht das in die Richtung, die du zeigen wolltest?
Es wäre nett, wenn du mir ein Beispiel geben könntest.

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16:25 Uhr, 12.05.2016

Alles korrekt, war mein Fehler.

Dann sollte alles passen was du geschrieben hast. ;-)

ralph03 aktiv_icon

16:34 Uhr, 12.05.2016

Was mich an der Aufgabe noch stört ist, dass ich ohne weiteres das Distributivgesetz angewandt habe.

Denn wenn die Gruppe

G

eine Gruppe von Matritzen ist, dann ist diese Gruppe weder kommutativ, noch distributiv.

Wenn du, oder jemand anders noch einen anderen Lösungsansatz hat würde ich mich darüber freuen!

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16:40 Uhr, 12.05.2016

Kannst du mal posten wo du das Distributivgesetz verwendest? Sehe das eigentlich nirgends Der letzte Schluss ist natürlich korrekt. Das gilt bereits per Definition, wenn

G

eine Gruppe ist.

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16:42 Uhr, 12.05.2016

Ganz am Anfang, um von der Ersten in die zweite Zeile zu kommen.

(b^{- 1} ⊙ a^{- 1}) ⊙ (a ⊙ b)

Hier habe ich das Distributivgesetz verwendet:

= (b^{- 1} ⊙ a) ⊙ (a^{- 1} ⊙ a) ⊙ (b^{- 1} ⊙ b) ⊙ (a^{- 1} ⊙ b)

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16:48 Uhr, 12.05.2016

Das entspricht nicht dem Distributivgesetzt per Definition. Du hast zwei identische Operatoren, dementsprechend kannst du die Klammern vernachlässigen - aber doch nicht das Distributivgesetz anwenden?

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16:50 Uhr, 12.05.2016

Stimmt - ab dort kann ich ja alles mit dem Assoziativgesetz lösen.

Danke für die Hilfe!

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17:02 Uhr, 12.05.2016

Kein Ding, ich kann dir am Abend noch einen alternativen Lösungsansatz posten. Sollte aber relativ ähnlich sein.

ralph03 aktiv_icon

17:08 Uhr, 12.05.2016

Alles klar, gerne!

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17:11 Uhr, 12.05.2016

Alles klar, gerne!

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23:45 Uhr, 12.05.2016

Wie versprochen, der Beweis nochmal aufgeschrieben - ist aber im Prinzip exakt dasselbe wie du sowieso schon hast.

=)

Wir wissen:

{(a \cdot b)}^{- 1}

wäre inverses Element von

a \cdot b

.
Also gibt es zu zeigen, dass

b^{- 1} \cdot a^{- 1}

inverses Element von

a \cdot b

ist.

(a \cdot b) \cdot (b^{- 1} \cdot a^{- 1}) = ((a \cdot b) \cdot b^{- 1}) \cdot a^{- 1} = (a \cdot (b \cdot b^{- 1})) \cdot a^{- 1} = (a \cdot e) \cdot a^{- 1} = a \cdot a^{- 1} = e

andere Seite: (trivial)

(b^{- 1} \cdot a^{- 1}) \cdot (a \cdot b) = ((b^{- 1} \cdot a^{- 1}) \cdot a) \cdot b) = (b^{- 1} \cdot (a^{- 1} \cdot a)) \cdot b = (b^{- 1} \cdot e) \cdot b = b^{- 1} \cdot b = e

\Rightarrow {(a \cdot b)}^{- 1} = b^{- 1} \cdot a^{- 1}

(wg. Eindeutigkeit vom Inversen)

PS: Wir haben eh schon geredet - es handelt sich um die Anwendung des Assoziativgesetzes, was ja schon gültig ist, da

G

eine Gruppe ist und einfach angewendet werden darf.

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