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Gruppenhomomorphismus
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Algebra, Aufgabe, Automorphismus, Axiom, Gruppen, Gruppenhomomorphismus, Homomorphismus, Isometrie, Isomorphismus, kommutativ, Untergruppe
 
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Aufgabe Seien isomorphe Gruppen. Wenn kommutativ ist, zeigen Sie, dass auch kommutativ sein muss. Aufgabe Seien zwei Gruppen und sei ϕ → ein Gruppenhomomorphismus. Sei ≤ eine Untergruppe von . Zeigen Sie, dass die Menge ϕ−1(H') ∈ ϕ(h) ∈ eine Untergruppe von ist. Meine Lösung bisher: (Aus dem Skript) Definition . Seien ◦G) und ◦L) zwei Gruppen. Ein Homomorphismus zwischen und ist eine Abbildung −→ sodass für alle ∈ gilt: ◦G ◦L . Ist zusätzlich bijektiv, heißt die Abbildung Isomorphismus. Aufgabe . ein Gruppe Wir wissen das kommutativ ist das heißt. ◦G ◦G ◦G ◦G ◦L ◦L das wäre mein beweis. AUfgabe . Bei dieser Aufgabe muss ich warsch. abgeschl. und das es das neutrale Element enthält irgendwie zeigen habt ihr Lösungsansätze oder Tipps? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"ein Gruppenhomomorphismus bildet das neutrale auf das neutrale Element und zueinander inverse auf zueinander inverse Elemente ab." (nach "Algebra" Artin oder nach Def. von Gruppenhomomorphismus). Man verwendet hier ständig die Definitionen von einem Gruppenhomomorphismus und einer Untergruppe: . um zu zeigen, dass oder äquivalent: geht man wie folgt vor: Da ein Gruppenhomomorphismus ist, hat man . Und da eine Untergruppe von ist. Somit . |
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Okey das ist verständlich. Ich probiere es auch mal für die abgeschlossenheit und stelle es hier rein. Ist die aufgabe richtig? Was sagt ihr dazu? |
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Hallo UltraVio, bei der Aufgabe hast du nirgendwo benutzt, dass ein Gruppenisomorphismus ist. Es ist jedoch wichtig, dass für alle existieren und sodass und . So kann man JEDES Produkt so schreiben, wie du es gemacht hast. Lg malka |
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vielen Dank ich habe es verstanden. dankeschön. |
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