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Gruppenhomomorphismus

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Tags: Gruppen

Master9362 aktiv_icon

12:56 Uhr, 25.10.2020

Moin moin, ich habe diese Aufgabe bis heute Abend abzugegben, ich habe a) schon gelöst aber es fehlt mir den Beweis zum b) und c). Hat jemand eine Idee wie ich es lösen kann?!
Vielen dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Nick76 aktiv_icon

14:25 Uhr, 25.10.2020

b) :

i

ist die Einbettung (Injektion) von

H

in das semidirekte Produkt von

H

und

G :

i (h) = (h, 1_{G})

mit

1_{G} =

neutrales Element in

G

Es ist leicht einzusehen, dass

i

ein Homomorphismus ist:

i (h_{1} \cdot h_{2}) = i (h_{1}) \cdot i (h_{2}) = (h_{1}, 1_{G}) \cdot (h_{2}, 1_{G}) = (h_{1} \cdot φ (1_{G}) (h_{2}), 1_{G} \cdot 1_{G}) = (h_{1} \cdot h_{2}, 1_{G})

denn

φ (1_{G})

ist die identische Abbildung auf H.

Es ist ebenso leicht einzusehen, dass

i

injektiv ist, denn aus

i (h_{1}) = i (h_{2})

folgt sofort

h_{1} = h_{2}

π

bezeichnet die Projektion vom semidirekten Produkt von

H

und

G

nach

G :

π ((h, g)) = g

Damit gilt Bild(i)=Kern(pi), denn Kern(pi)=(H,

1_{G})

Master9362 aktiv_icon

14:33 Uhr, 25.10.2020

Ja, vielen Dank für deine Hilfe. Ich wollte noch fragen ob du mir bei der Frage c) auch helfen kannst?! :-)

Nick76 aktiv_icon

11:43 Uhr, 26.10.2020

Mit dem Homomorphisatz angewendet auf die Projektion

π

folgt K/Kern(pi)

≅ G

.
Aus

b)

haben wir Kern(pi)

= (H, 1_{G})

isomorph zu

H, d . h

\frac{K}{H} ≅ G

.
Damit ist

K

isomorph zur disjunkten Vereinigung der Nebenklassen gH für alle

g \in G

.
Also

K

isomorph zu

H \times G

mit phi(g)=id

\forall g \in G

ermanus aktiv_icon

12:07 Uhr, 26.10.2020

Hallo,
@Nick76: Das kann ja nicht sein; denn dann wären ja alle
semidirekten Produkte sogar direkte Produkte ...
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 26.10.2020

Im Übrigen fehlt bei (b) der Existenznachweis für den Homom.

s

.
Hier ein nichttriviales Beispiel zu (c):
Sei

S_{3}

die symmetrische Gruppe auf 3 Objekten,

A_{3}

die alternierende Gruppe, die bekanntlich ein Normalteiler
mit 3 Elementen von

S_{3}

ist, also i.b. zyklisch. Sei

π =

sgn:

S_{3} \to {\pm 1}

das Signum der Permutationen,

i : A_{3} \to S_{3}

die Inklusionsabbildung,
dann ist

A_{3} \overset{i}{\to} S_{3} \overset{s g n}{\to} {\pm 1}

exakt.

s

definieren wir durch

s (- 1) = (1 2)

, womit die Transposition,
die 1 und 2 vertauscht, gemeint ist.
Gruß ermanus

Nick76 aktiv_icon

14:55 Uhr, 26.10.2020

Sorry, die Spaltung in

b)

habe ich glatt unterschlagen.
Man kann sie folgendermaßen definieren:

s (g) = (1_{H}, g)

Eine leichte Rechnung zeigt wieder, dass

s

ein Homomorphismus ist:

s (g_{1} \cdot g_{2}) = s (g_{1}) \cdot s (g_{2}) = (1_{H}, g_{1}) \cdot (1_{H}, g_{2}) = (1_{H} \cdot φ (g_{1}) (1_{H}), g_{1} \cdot g_{2}) = (1_{H}, g_{1} \cdot g_{2})

denn

φ (g_{1}) (1_{H}) = 1_{H}

ermanus aktiv_icon

15:10 Uhr, 26.10.2020

Prima! Damit ist (b) nun in der Tat erledigt.
(c) ist wohl etwas schwieriger; denn wo soll man den
Homom.

G \to

Aut(

H

) herbekommen?
Ich denke innere Automorphismen (Konjugation) sind das Zauberwort ;-)

ermanus aktiv_icon

10:20 Uhr, 27.10.2020

Hallo,
zur weiteren Untersuchung von Teil (c):
wir wollen zeigen, dass

i (H) \cap s (G) = {e}

ist.
Ich werde für das neutrale Element einer Gruppe immer

e

schreiben, da aus dem Kontext stets hervorgeht, in welcher
Gruppe sich das besagte

e

gerade befindet.
Sei also

x \in i (H) \cap s (G)

. Dann gibt es

h \in H, g \in G

mit

x = i (h) = s (g)

, folglich

e = (π \circ i) (h) = (π \circ s) (g) = g

und somit

x = s (g) = s (e) = e

.
Da

s

und

i

Monomorphismen sind, gilt

i (H) ≅ H

und

s (G) ≅ G

.
Um die Darstellung zu entlasten, identifiziere ich

H

mit

i (H)

und

s (G)

mit

G

.
Wie Nik76 schon darlegte, ist

G H = ⋃_{g \in G} g H = K

.
Nun ist

H

als Kern von

π

ein Normalteiler von

K

,
also

g H g^{- 1} = H

für alle

g \in G

φ_{g} : h \mapsto g h g^{- 1}

ist damit ein Automorphismus von

H

,
also

φ_{g} \in

Aut(

H

). Man rechnet leicht nach, dass

g \mapsto φ_{g}

einen Homomorphismus

φ : G \to

Aut(

H

) liefert.
So kommen wir zu

K ≅ H \times_{φ} G

, wobei hier

\times_{φ}

das semi-direkte Produkt bezeichne.
Gruß ermanus

Master9362 aktiv_icon

16:08 Uhr, 28.10.2020

Vielen Dank!

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