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Gruppenhomomorphismus

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Gruppenhomomorphismus

SirLoseALot aktiv_icon

14:26 Uhr, 23.02.2023

Hey Leute, ich habe Probleme mit Beweisen.

Ich verstehe nie was ich machen soll.
Zum Beispiel bei dieser Aufgabe.

Seien

G, H, K

Gruppen und

f : G \to H

und

g : H \to K

Abbildungen. Die Abbildungen

g

und

g o f

seien
Gruppenhomomorphismus, und die Abbildung

g

sei injektiv.
Zeigen Sie, dass auch

f

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Wie mach ich das? Was helfen mir die Informationen von den zwei anderen Abbildungen?

Eine Abbildung

f : G

→

H

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle

g, g'

∈

G

gilt

f (g g') = f (g) f (g')

.

Das steht in meinem Skript

Bitte zeigt wie man das machen muss

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Punov aktiv_icon

15:09 Uhr, 23.02.2023

Hallo, SirLoseALot!

Zuerst eine kleine Vorbemerkung:

Du solltest hinsichtlich der Verknüpfungen etwas genauer sein, also die (möglicherweise unterschiedlichen) inneren Verknüpfungen der drei Gruppen voneinander unterscheiden. Das kommt dir für den Beweis zugute, weil die einzelnen Voraussetzungen dann klarer formulierbar sind. Bei solchen Aufgaben kann das Vieles erleichtern, finde ich.

Zur eigentlichen Aufgabe:

Seien also

(G, \cdot_{G}), (H, \cdot_{H})

und

(K, \cdot_{K})

drei Gruppen. Zeige, daß unter den Annahmen deiner Aufgabe an die beiden Funktionen

g

und

g \circ f

die Funktion

f : G \to H

ein Gruppenhomomorphismus (GH) ist, also daß

f (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) = f (g_{1}) \cdot_{H} f (g_{2})

für alle

g_{1}, g_{2} \in G

.

Dazu starte für beliebige

g_{1}, g_{2} \in G

mit

g (f (g_{1} \cdot_{G} g_{2})) = (g \circ f) (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) = \dots

und verwende die Voraussetzungen aus deiner Aufgabe.
Vielleicht noch als Hinweis: Verwende zuerst, daß

g \circ f

ein GH ist, dann, daß

g

ein GH ist und ganz zum Schluss die Injektivität von

g

.

Hilft dir das schon?
Falls nicht bitte nochmal konkreter nachfragen.

Viele Grüße

SirLoseALot aktiv_icon

09:38 Uhr, 24.02.2023

Danke Punov, dass hat mir jetzt schon gut weitergeholfen.

Ich bin mir am Anfang aber schon unsicher bei Anwendung das g

\circ

f GH ist

g (f (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) = (g \circ f) (g 1 \cdot_{G} g_{2})

Wenn ich jetzt den GH von der Komposition von g und f ausnutze. Was kommt dann raus

1

g (f (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) = (g \circ f) (g 1 \cdot_{G} g_{2}) = g (f (g 1) \cdot_{G} g (f (g 2)

oder

2

g (f (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) = (g \circ f) (g 1 \cdot_{G} g_{2}) = g (f (g 1) \cdot_{f} g (f (g 2)

Oder sind beide Falsch xD. Ich vermute die (1) ist richtig

Punov aktiv_icon

10:30 Uhr, 24.02.2023

Hallo!

Beides stimmt nicht, denn

g \circ f : G \to K

.

Da

g \circ f

ein Gruppenhomomorphismus ist, gilt also

(g \circ f) (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) = (g \circ f) (g_{1}) \cdot_{K} (g \circ f) (g_{2}) = g (f (g_{1})) \cdot_{K} g (f (g_{2}))

für alle

g_{1}, g_{2} \in G

.

Viele Grüße

SirLoseALot aktiv_icon

10:36 Uhr, 24.02.2023

Okay stimmt. Wie nutzt man jetzt den GH von g aus um das weiter Umzuformen

Punov aktiv_icon

10:46 Uhr, 24.02.2023

Hallo,

also ich möchte es auch nicht unnötig in die Länge ziehen.

Der Beweis funktioniert so:

Seien

g_{1}, g_{2} \in G

beliebig. Es gilt

\begin{array}{rcl} g (f (g_{1} \cdot_{G} g_{2})) & = & (g \circ f) (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) \\ \overset{(1)}{=} & (g \circ f) (g_{1}) \cdot_{K} (g \circ f) (g_{2}) \\ = & g (f (g_{1})) \cdot_{K} g (f (g_{2})) \\ \overset{(2)}{=} & g (f (g_{1}) \cdot_{H} f (g_{2})) \end{array}

Für die Identität (1) benutzt man, daß

g \circ f : G \to K

ein Gruppenhomomorphismus ist, die Identität (2) gilt, da

g : H \to K

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Schließlich folgt nun aus der Injektivität von

g

, daß

f (g_{1} \cdot_{G} g_{2}) = f (g_{1}) \cdot_{H} f (g_{2})

, was zu zeigen war.

Viele Grüße

SirLoseALot aktiv_icon

10:51 Uhr, 24.02.2023

Danke! Hat mir gut weitergeholfen

Mfg

Nasfret aktiv_icon

11:00 Uhr, 01.03.2023

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