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Gruppenhomomorphismus

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Tags: Gruppenhomomorphismus, Lineare Algebra

anonymous

16:32 Uhr, 14.11.2013

Guten Abend!

Weiß wieder mal nicht weiter .. würd mich freuen, wenn wer helfen kann.

Ich muss überprüfen, ob es sich bei der folgenden Abbildung um einen Gruppenhomomorphismus handelt.

f : ℤ \to ℤ, z \to 2 z

Habe mir die Definition eines Gruppenhomomorphismus angeschaut, aber hab es nicht richtig verstanden. Ich verstehe nicht, welche Verknüpfung ich da hernehmen muss.
Wie man zeigt, dass etwas eine Gruppe ist kann ich. Aber Gruppenhomomorphismus leider nicht, wäre toll, wenns mir wer erklärt :-)

Mit freundlichen Grüßen,

sunday

michaL aktiv_icon

19:55 Uhr, 14.11.2013

Hallo,

mit welcher Verknüpfung bildet denn

ℤ

eine Gruppe?

Wenn das geklärt ist, dann brauchen wir noch die von dir erwähnten Axiome für Gruppenhomomorphismen. Die musst du halt prüfen.

Mfg Michael

anonymous

08:27 Uhr, 15.11.2013

Mit Multiplikation?

michaL aktiv_icon

10:05 Uhr, 16.11.2013

Hallo,

> Mit Multiplikation?

Zielsicher daneben gegriffen.

ℤ

bildet mit der Multiplikation keine Gruppe, oder kannst du mir das Inverse von 2 in

ℤ

sagen?!

Also bleibt nur noch die Addition.

Räumt das was auf?

Mfg Michael

anonymous

10:21 Uhr, 16.11.2013

Aso aja danke!! Also muss ich immer zuerst schaun, welche Verknüpfung ich überhaupt nehme ( und dass hat nichts mit dem

x \to 2 x

zu tun, richtig? )

Aber beim Gruppenhomomorphismus dann, muss ich da zb zeigen, dass

f (2 z + y) = f (y) \cdot f (2 z)

??

Oder was muss ich da genau machen?

Liebe Grüße.

michaL aktiv_icon

12:14 Uhr, 16.11.2013

Hallo,

das ist zu wenig.
Schreibe das zu prüfende Axiom doch nochmal allgemein auf. VIelleicht ist das ja auch nur ein Schreibfehler...

Mfg Michael

anonymous

14:12 Uhr, 16.11.2013

Allgemein:

Seien

(G (1), \cdot (1))

und

(G (2), \cdot (2))

Gruppen, wobei

\cdot (1)

und

\cdot (2)

einfach für die zwei Verknüpfungen stehen und

f : G (1) \to G (2)

f

ist ein Gruppenhomomorphismus, falls für Alle

g, h

Element aus

G (1)

gilt:

f (g \cdot (1) h) = f (g) \cdot (2) f (h)

.

Wenn ich aufs mein Bsp anwende, komm ich wieder auf das, was ich zuerst geschriebn habe..

michaL aktiv_icon

15:18 Uhr, 16.11.2013

Hallo,

das Axiom ist korrekt widergegeben.

> Wenn ich aufs mein Bsp anwende, komm ich wieder auf das, was ich zuerst geschriebn habe..

Dann hast du ein sehr ernsthaftes Problem.
Machen wir es der Reihe nach: Für

g \in G_{1}

und

h \in G_{2}

möchtest du was verwenden?

Mfg Michael

anonymous

15:41 Uhr, 16.11.2013

Aber in der Definition ist

h

ja ebenso Element aus

G (1)

oder?
Und nicht aus

G (2)

michaL aktiv_icon

18:31 Uhr, 16.11.2013

Hallo,

ja, sorry, mein Fehler.

Frage bleibt trotzdem aufrecht!

Mfg Michael

anonymous

20:14 Uhr, 16.11.2013

Irgendwelche ganzen Zahlen?

michaL aktiv_icon

22:43 Uhr, 16.11.2013

Hallo,

ok, also

x, y \in ℤ

, dann soll welche Gleichung gelten?

Mfg Michael

anonymous

09:12 Uhr, 17.11.2013

f (x + y) = f (x) + f (y)

??

Danke

!!

michaL aktiv_icon

09:50 Uhr, 17.11.2013

Hallo,

korrekt.
Jetzt die Transkription:

f

ist ja eine besondere, spezielle Abbildung. Wie müsste die Gleichung lauten, wenn du dein Wissen über

f

einflechtest?

Mfg Michael

anonymous

10:30 Uhr, 17.11.2013

Meinst du jetzt, dass

f

in der Aufgabe eine Gerade ist, oder was genau?

Ist es dann prinzipiell egal, wie die funktion genauer ausschaut, weil

z \to 2 z

benützen wir ja dann garnicht..

LG UND DANKE VIELMALS

michaL aktiv_icon

10:33 Uhr, 17.11.2013

Hallo,

> Meinst du jetzt, dass

f

in der Aufgabe eine Gerade ist, oder was genau?

Nein, wie ihr Schaubild aussieht, ist egal.

> Ist es dann prinzipiell egal, wie die funktion genauer ausschaut, weil z→2z benützen wir ja dann garnicht..

Doch. Genau das sollst du verwenden. Mach doch mal was. Wenn's falsch ist, sag ich dir das schon!

Mfg Michael

anonymous

10:41 Uhr, 17.11.2013

Okay, versuch ich's halt mal aber ich weiß eig ned genau, wie.

unser

f (z)

wäre ja in dem Fall

f (x + y)

und

f (z) \to 2 z,

also

f (x + y) \to 2 x + 2 y,

und

f (x) \to 2 x

und ebenso für

f (y),

insgesamt:

f (x + y) = 2 x + 2 y = f (x) + f (y)

michaL aktiv_icon

10:51 Uhr, 17.11.2013

Hallo,

nicht schlecht, aber nur halb richtig.

Es gilt tatsächlich

f (x) = 2 x

, ebenso

f (y) = 2 y

.
Aber - ganz genau genommen - gilt nicht

f (x + y) = 2 x + 2 y

, jedenfalls nicht nach Definition.

Bitte also korrigieren: Was ist

f (x, y)

gemäß Definition?

Mfg Michael

anonymous

10:54 Uhr, 17.11.2013

f (x + y) = 2 \cdot (x + y) = 2 x + 2 y

michaL aktiv_icon

11:13 Uhr, 17.11.2013

Hallo,

korrekt.
Das ist der Beweis, dass es sich bei

z \mapsto 2 z

um einen Gruppenhomomorphismus handelt.

Mfg Michael

anonymous

11:18 Uhr, 17.11.2013

Super, danke.

Nur, dass ich das jetzt auch richtig verstanden habe, wenn ich zum beispiel sowas gegeben habe:

f : ℤ \to ℚ {0},

z->z²+1

Da ist ja in

ℤ

wieder eine Gruppe mit Addition gegeben und in

ℚ {0}

aber mit Multiplikation.

Dann müsste ich zeigen, dass

f (x + y) = f (x) \cdot f (y),

oder?

michaL aktiv_icon

13:37 Uhr, 17.11.2013

Hallo,

vermutlich.

Genaueres lässt sich im allgemeinen nur sagen, wenn man die Originalaufgabenstellung sieht.

Mfg Michael

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