Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gruppenhomomorphismus Z/nZ -> Z/mZ, n Teiler von m

Gruppenhomomorphismus Z/nZ -> Z/mZ, n Teiler von m

Universität / Fachhochschule

Tags: Gruppenhomomorphismus

RomanGa aktiv_icon

08:55 Uhr, 28.11.2017

Hallo zusammen. Ich wollte Folgendes zeigen:
n ist Teiler von m => Es gibt einen injektiven Homomorphismus von (Z/n, +) nach (Z/m, +).

Zunächst am Beispiel:
n = 2, m = 4, a = m/n = 2
(Z/2, +) nach (Z/4, +)
Meine Idee für eine Abbildung:

f ([0]_{2}) = [a * 0]_{4} = [2 * 0]_{4} = [0]_{4}

f ([1]_{2}) = [a * 1]_{4} = [2 * 1]_{4} = [2]_{4}

Das ist eine injektive Abbildung.
Beweis, dass das ein Homomorphismus ist:

f ([x]_{2}) +_{4} f ([y]_{2}) = f ([x]_{2} +_{2} [y]_{2})

(I)

[2 x]_{4} +_{4} [2 y]_{4} = f ([x + y]_{2})

(II)

[2 (x + y)]_{4} = [2 (x + y)]_{4}

(III)

Dieser Beweis ist aber falsch, denn damit hätte ich für jedes a, z. B. a=1 oder a=7, einen Homomorphismus. Das stimmt aber nicht, denn für z. B. a = 1, x = 1, y = 1 ist Gleichung (I) falsch und Gleichung (III) richtig. Was habe ich falsch gemacht? Wie geht es richtig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

09:59 Uhr, 28.11.2017

Hallo,

bin kein Experte auf diesem Gebiet. Aber ich kann Dein Gegenbeispiel nicht nachvollziehen.

Ich würde ohnehin einfach mit

a = 1

arbeiten.

Gruß pwm

RomanGa aktiv_icon

10:35 Uhr, 28.11.2017

Hallo pwmeyer, aus Gl. (I) wird mit a = 1, x = 1, y = 1:

f ([1]_{2}) +_{4} f ([1]_{2}) = f ([1]_{2} +_{2} [1]_{2})

[1]_{4} +_{4} [1]_{4} = f ([2]_{2})

[2]_{4} = f ([0]_{2})

[2]_{4} = [0]_{4}

Was eindeutig falsch ist.

pwmeyer aktiv_icon

11:49 Uhr, 28.11.2017

Hallo,

ja, jetzt sehe ich auch meinen Fehler: Ich bin - ohne zu prüfen

-,

davon ausgegangen, dass die Definition von

f

unabhängig vom Repräsentanten ist, also

{[x]}_{n} = {[y]}_{n} \Rightarrow f ({[x]}_{n}) = f ({[y]}_{n})

Das wird nicht (allg) durch

f ({[x]}_{n}) := {[x]}_{m}

gewährleistet, wohl aber durch

f ({[x]}_{n}) := {[a \cdot x]}_{m}

.

Die Homomorphie-Eigenschaft ist

d a n n

direkt nachzurechnen.

Gruß pwm

RomanGa aktiv_icon

14:10 Uhr, 28.11.2017

Hallo pwm, du schreibst, die Homomorphie-Eigenschaft ist nachzurechnen. Aber genau das ist mir nicht gelungen. Weiß sonst jemand einen Rat?

ermanus aktiv_icon

14:21 Uhr, 28.11.2017

Hallo,
sei

a = \frac{m}{n}

. Dann ist in der Tat (so wie pwmeyer es sagt):

f ([x]_{n}) := [a \cdot x]_{m}

der gesuchte Injektive Homomorphismus.

Wo ist denn dein Problem bei der Überprüfung von
1.

f

ist Injektiv und
2.

f ([x]_{n} + [y]_{n}) = f ([x]_{n}) + f ([y]_{n})

?

Es ist doch ganz klar, dass

[1]_{n}

die additive Gruppe

Z / n Z

erzeugt
und dieses erzeugende Element muss auf ein erzeugendes Element einer n-elementigen
Untergruppe von

Z / m Z

abgebildet werden. Aber ein solches ist doch

[a]_{m}

,
da dessen Vielfache gerade wieder n verschiedene Elemente von

Z / m Z

ergeben.

RomanGa aktiv_icon

17:32 Uhr, 28.11.2017

Hallo ermanus, vielen Dank für die Bestätigung, dass a = m / n. Das hilft mir schon mal weiter. Auch deine Argumentation mit dem erzeugenden Element sieht gut aus, auch wenn ich dazu noch keine Übung habe. Jetzt aber zum Beweis, dass

f ([x]_{n}) +_{m} f ([y]_{n}) = f ([x]_{n} +_{n} [y]_{n})

. Ich habe das in meinem Beitrag ganz oben durchgerechnet für n = 2, m = 4, a = 2, und alles passt. Das Problem: Meine Rechnung geht auch auf für jedes andere a, z. B. a = 7:

f ([x]_{2}) +_{4} f ([y]_{2}) = f ([x]_{2} +_{2} [y]_{2})

(I)

[7 x]_{4} +_{4} [7 y]_{4} = f ([x + y]_{2})

(II)

[7 (x + y)]_{4} = [7 (x + y)]_{4}

(III)

Jetzt meine Frage: Was habe ich falsch gemacht? Wie beweise ich den Homomorphismus richtig?

michaL aktiv_icon

17:43 Uhr, 28.11.2017

Hallo,

> Was habe ich falsch gemacht?

Darauf hat pwmeyer doch schon eingegangen!

Da es sich um Abbildungen zwischen Restklassengruppen handelt, ist erst einmal sicherzustellen, dass die von dir angegebene Abbildung wohldefiniert ist, d.h. unabhängig vom gewählten Vertreter einer Restklasse immer das gleiche Ergebnis liefert.

Nehmen wir mal dein

f : {\begin{array}{rcl} ℤ_{2} & \to & ℤ_{4} \\ [x]_{2} & \mapsto & [a \cdot x]_{4} \end{array}

Wenn du jetzt z.B.

a = 3

wählst, dann gibt es Probleme mit

x = 1

.
Es gilt ja

[1]_{2} = {\dots; - 1; 1; 3; \dots}

.
Andererseits ist

[3]_{4} = {\dots; - 1; 3; 7; \dots}

.

Dann ist aber

3 \cdot 1 \neq 3 \cdot (- 1)

mod 4.

Deshalb ist die Abbildung mit

a = 3

NICHT wohldefiniert. Eine solche Abbildung auf Homomorphismeneigenschaft untersuchen zu wollen, erscheint mir dann nicht mehr sinnvol.

Es geht also in diesem Umfeld eher um Wohldefnition als um Homomorphismuseigenschaft.

Mfg Michael

RomanGa aktiv_icon

18:02 Uhr, 28.11.2017

Hallo Michael, das ist ja mal eine gute Antwort! Vielen Dank! Um das Thema Wohldefiniertheit habe ich mich bisher nie gekümmert. Aber deine Argumentation verstehe ich voll und ganz.

Beim Schließen der Aufgabe steht dein Name leider nicht in der Liste, siehe Bild. Muss wohl ein Fehler von OnlineMathe sein.

1401795

1401650

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?