Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Gruppenhomomorphismus von (Z2,+)->(Z2,+)

Gruppenhomomorphismus von (Z2,+)->(Z2,+)

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Gruppenhomomorphismus, Homomorphiesatz

stefan08 aktiv_icon

23:37 Uhr, 29.01.2014

Hallo,

ich versuche folgende Aufgabe zu lösen:
Wie viele verschiedene Gruppenhomomorphismen

f : (Z 2, +) \to (Z 2, +)

gibt es?
(Anleitung man muss untersuchen welche der 4 Möglichen Abbildungen von

Z 2

nach

Z 2

tatsächlich Homomorphismen sind. Alternativ dazu kann man auch den Homomorphiesatz verwenden)

Homomorpismen sind:

f (0) = 0, f (1) = 1

sowie

f (0) = 0

und

f (1) = 0

.
Ich würde das mit den Homomorphisatz folgenderweise machen:

Homomorphiesatz: Sei

f : G \to G

ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist die Faktorgruppe G/ker(f) zum Bild

f (G)

isomorph.

Somit muss 0auf 0 abgebildet werden, da ker(f) sonst keine Gruppe ist.

Ist die Vorgehensweise richtig und was kann man außer das ker(f) ein Normalteiler von

G

ist noch aus dem Satz rauslesen?

Kann man

z . B

. sagen dass

(f (G), \cdot)

kommutativ ist?
Oder gilt

n \in N e b e n k l a s s e 1, m \in N e b e n k l a s s e 2 : f (m + n) = q

für alle

m

und n(also

q

ist immer das gleiche Element für alle

m

und

n)

?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen einwenig mehr mit dem Satz anzufangen, schon mal Danke im Voraus.

michaL aktiv_icon

11:52 Uhr, 30.01.2014

Hallo,

hm, Herangehensweise ohen alles:
Da

φ : Z_{2} \to Z_{2}

ein Homomorphismus sein soll, muss also

φ (\overline{0}) = \overline{0}

gelten.

Nun hast du genau zwei Möglichkeiten für

φ (\overline{1})

.

Fall 1:

φ (\overline{1}) = \overline{0}

. Dann ist

φ \equiv 0

(also die Nullabbildung). Insbesondere ist

φ

Homomorphismus.

Fall 2:

φ (\overline{1}) = \overline{1}

. Dann ist

φ = Id

(also die Identität). Insbesondere ist

φ

Homomorphismus.
Mehr Möglichkeiten gibt's nicht.

Herangehensweise mit Kanonen (auf Spatzen): Es gibt nur zwei Normalteiler von

(Z_{2}, +)

, die trivialen.
Ist der Kern von

φ

die ganze Gruppe, so werden also alle Elemente auf

\overline{0}

abgebildet (entspricht dem ersten Fall oben).
Besteht der Kern nur aus

\overline{0}

, so ist die Abbildung also injektiv und (da

ℤ_{2}

endlich) auch surjektiv, also insbesondere bijektiv.
Wegen

φ (\overline{0}) = \overline{0}

bleibt nur noch

φ (\overline{1}) = \overline{1}

und damit ist

φ

die Identität.

Aber im Prinzip bist du richtig an die Sache herangegangen.

Mfg Michael

stefan08 aktiv_icon

00:12 Uhr, 31.01.2014

Danke für die Erklärung habe es auch zuerst ohne Homomorphiesatz gemacht hat, wollte dann aber wissen wie die Alternative damit funktioniert.

Wegen den zwei Annahmen(Bild ist immer kommutativ und rechnen mit dem Nebenklassen) hat wer eine Idee ob die richtig sind bzw. wenn nicht warum sie falsch sind?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1142803

1142518

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?