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Gruppenoperation treu und transitiv
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Operation, transitiv, treu
 
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Hallo, ich lerne für meine Algebra Klausur und habe diese Aufgabe gefunden:Sei die Gruppe der invertierbaren nxn Matrizen. Operiert diese Gruppe treu auf dem und transitiv auf dem ?(Hierbei betrachten Sie die gewöhnliche Operation ). Meine Idee: treu heißt, dass für alle die nicht die Einheitsmatrix sind, ein gibt mit und transitiv heißt, dass für alle ein gibt mit . Meine Vermutung ist, dass die Operation treu und transitiv ist, aber ich weiß nicht wie man das formal zeigen kann. Ich würde mich freuen wen mir jemand helfen könnte. Vielen Dank im Voraus Fesiborlin Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, es geht bei dieser Aufgabe mehr um das Wissen über die Abbildungen der Art als um alles andere. Zur Treue: Welche Eigenschaft hat denn die Einheitsmatrix , die andere Elemente nicht haben? Wie leitet sich daraus die Treue ab? Zur Trasitivität: Bedenke, dass man die Abbildung wegen als Basiswechsel betrachten kann. Dazu müsste man sicher noch mehr sagen, bevor daraus ein Beweis wird. Das verschieben wir aber auf später. Mfg Michael |
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Hallo, zur Treue: Die Einheitsmatrix E hat die Eigenschaft, dass für alle x. Alle andere Matrizen haben diese Eigenschaft nicht. Reicht das schon um zu sagen, dass die Operation treu ist? Zur Transitivität: Sei bezüglich der Basis und bezüglich der Basis Dann gibt es eine Basiswechselmatrix mit . Folgt damit schon die die Transitivität? Viele Grüße Fesiborlin |
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Hallo, ich wäre zwar von Matrizen ausgegangen, d.h. dass die einzige Matrix ist, für die für alle Matrizen die Gleichung gilt. Insbesondere muss es für jede Matrix eine Matrix geben, sodass gilt. Also müssen sich die Matrizen und in wenigstens einer Spalte unterscheiden, etwa in der -ten Spalte. Dann seien der -te Spaltenvektor von und der -te Spaltenvektor von , d.h. es gilt mit nach Wahl von . Zur Transitivität: Es sind ja zwei "Unbekannte" hier im Spiel: und Ich würde eine eliminieren, damit das Spiel überschaubarer wird. Auf welche Weise geht das? Gegeben sei ein Vektor . Behauptung: Es gibt eine Basis , für die gilt und für die die Basiswechselmatrix von der Basis zur Standardbasis durch die Multiplikation mit der Matrix erfolgt. (Zur Erinnerung: zu einer Basis zu ergänzen geht für jedes . [Basisergänzungssatz] Die oben angesprochene Matrix ist gerade diejenige, bei der die Spaltenvektoren aus den Basisvektoren von besteht.) Damit wird also der Vektor auf den Vektor abgebildet! (Das solltest du dir noch einmal klar machen.) Als Basiswechselmatrix ist natürlich invertierbar (was ihr sicher auch in der Vorlesung besprochen habt), d.h. es gilt . So, da gleiche Spiel können wir für gegebenes spielen und erhalten eine Basis und eine zugehörige Basiswechselmatrix , sodass gilt. Und wie erhält man nun daraus eine invertierbare Matrix , die erfüllt? Überlege! Mfg Michael |
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