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Gruppenordnung 2p, Existenz Element Ordnung p
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Algebra, Gruppen
 
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Es sei eine Primzahl und eine endliche Gruppe mit Elementen. Zeigen Sie, dass es in eine Element mit Ordnung gibt. Mein Ansatz: Es ist klar, dass die von allen aus erzeugten Untergruppen die Ordnung oder haben müssen (Lagrange). Die Ordnung 1 hat nur das neutrale Element. Die Ordnung würde bedeuten, dass zyklisch ist, also dass ein aus existiert mit . Daraus würde aber direkt folgen: das heißt hätte die gewünschte Eigenschaft. Übrig bleibt noch die Möglichkeit, dass alle Elemente aus die Ordnung 2 haben, also g²=e für alle aus G. Das heißt . In einer anderen Aufgabe habe ich gezeigt, dass eine solche Gruppe, in der g²=e für alle gilt, die Anzahl der Elemente der Gruppe gleich mit aus ist. Das heißt es muss gelten #G Das ist nur für der Fall. Auch in diesem Fall ist die Behauptung direkt gezeigt, da die soeben betrachtete Fall, dass alle Elemente aus die Ordnung 2 dann gerade hier dem entspricht. Somit ist die Behauptung gezeigt. Ich bin mir leider aber sehr unsicher ob der Beweis so passt, deswegen wäre es super wenn jemand rüber schauen könnte und mir ggf sagt ob hier Fehler sind. MfG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, ist korrekt. Mfg Michael |
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