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Gruppenordnung, Teilmenge erzeugt Gruppe

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, nebenklasse, Ordnung der Gruppe, Teilmengen von Gruppen die Gruppe erzeugen

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07:58 Uhr, 15.10.2019

Hallo zusammen,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

1.)
G - Gruppe
S - Teilmenge von G
Es gilt #S > (1/2)*#G.

Zeige, dass <S> = G und, dass jedes Element x in G geschrieben werden kann als

x = s_{1} * s_{2}

mit

s_{1}, s_{2} \in S

. Als Hinweis ist gegeben: Für x in G zeige, dass S und M = {

x s^{- 1} : s \in S}

nicht disjunkt sind.

2.)
G - endliche Gruppe, Ordnung von G mindestens 2
p - kleinster Primfaktor, der die Ordnung von G teilt
S - Teilmenge von G
Es gilt: #S > (1/p)*#G.
Zeige, dass <S> = G.

Zu 1) habe ich es geschafft, den Hinweis zu beweisen: Die Menge M entspricht ja der Nebenklasse mit

s^{- 1}

bezogen auf die gesamte Gruppe, d.h. M = G. Damit ist der Schnitt von S und M genau S und somit sind die Mengen nicht disjunkt. Leider weiß ich jetzt nicht, wie ich das mit dem Rest in Einklang bringen soll... ich habe weiter überlegt, ob ich zeigen kann, dass es für die Elemente in S mehr Kombinationsmöglichkeiten gibt, als es überhaupt Elemente in G gibt, aber da S ja eine Teilmenge von G ist und G als Gruppe abgeschlossen ist, müssen ja Elemente aus G mehrfach von S erzeugt werden. Aber ich misstraue dieser Überlegung (wie kann ich sicher sein, dass ich wirklich alle Elemente von G getroffen habe? Gilt die Aussage wirklich für endliche und unendliche Gruppen, oder nur für endliche? Weil: Was ist bei einer unendlichen Gruppe mehr als die Hälfte der Elemente? Bei den ganzen Zahlen könnte ich mir noch was drunter vorstellen, aber bei anderen Gruppen scheitere ich da.) Deshalb habe ich überlegt, eine Fallunterscheidung anzusetzen: z.B. Angenommen, das neutrale Element ist NICHT in S. Dann ist (weil eine Gruppe ja gleich viele Elemente wie Inverse dazu haben muss) ein s und ein

s^{- 1}

in S. Diese erzeugen das neutrale Element. Aber dann scheitere ich an allen weiteren Fällen, etwa "nur s in S", "e in S"...

Vielleicht als Ergänzung, falls mir jemand helfen möchte: Wir hatten den Satz von Cauchy und den von Lagrange. Nur bin ich mit denen auch nicht weiter gekommen... -.-

Ich hoffe mal, von euch weiß einer Rat! Vielen Dank schon mal und viele Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

09:54 Uhr, 15.10.2019

Hallo,
bedenke, dass die Ordnung der von

S

erzeugten Untergruppe
ein Teiler der Ordnung von

G

ist:

# < S > ∣ # G

. Das könnte schon mal nützlich sein ...
Gruß ermanus

P.S.: sehe gerade, dass dies Argument ja nur für endliche Gruppen brauchbar ist.
Endlichkeit wird hier aber wohl vorausgesetzt;
denn ohne Endlichkeitsforderung wäre

# S > (1 / 2) # G

sinnlos ...

ermanus aktiv_icon

10:38 Uhr, 15.10.2019

Dein Argument mit der Nebenklasse stimmt nicht.
Beispiel

G = S_{3}

S = {(12), (13), (132), e}

x = (23)

.
Dann ist

M = {(132), (123), (12), (23)}

, also

M \neq G

.
Was aber wohl wichtig ist, dass

# M = # S

gilt.

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14:10 Uhr, 15.10.2019

Hallo,

danke für den Hinweis. Ich fürchte nur, das hier wird eine ziemlich schwere Geburt, weil mein Hirn langsam müde ist vom zu vielen Rechnen und ich die einfachsten Dinge nicht mehr erkenne.

Also, habe mir jetzt folgendes überlegt: G ist ja eine Gruppe, die ist doch abgeschlossen, oder? Dann müsste ich ja ein x = s*s in G finden können. Wenn ich dieses x jetzt mit

s^{- 1}

multipliziere, kommt s heraus, also ein Element aus S. Also kann der Schnitt von M mit S nicht leer sein. Weil G eine Gruppe ist, müsste ich ja aber für alle

s^{- 1}

so ein passendes x finden können. Wäre #M = #S oder nicht...?

Zu #<S>|#G habe ich mir überlegt: S enthält mehr als die Hälfte aller Elemente aus G, <S> enthält mindestens genauso viele Elemente wie S. Also gilt 2*#<S> > #G. Nun teilt aber #<S> #G. Wenn ich jetzt die Ungleichung einfach mal umstelle, steht da: 2 > (#G/#<S>). Die einzige natürliche Zahl kleiner 2 ist 1, also ist #G = #<S> ... Wenn #<S> = #G ist, und <S> eine Untergruppe von G ist, dann müsste ja G = <S> gelten. Aber wo ist der Zusammenhang zu M? Sagt mir M dann irgendwie, dass ich jedes x als Produkt zweier Elemente von S schreiben kann...?

Was ähnliches habe ich mir zur 2. Teilaufgabe überlegt. Die Primfaktorzerlegung von #G ist p*

p_{1}

*...*

p_{n}

, wobei p die kleinste Zahl in dieser Zerlegung ist, also p

\neq

1 und

p_{1}

*...*

p_{n}

< #G. Damit #G/#<S> <p gilt, muss #<S> >

p_{1}

*...*

p_{n}

sein. Weil p die kleinste Primzahl ist, durch die #G geteilt werden kann und sonst G nur noch durch 1 geteilt werden kann, muss #<S> = #G sein und damit <S> = G.

Ich fürchte, dass das alles großer Blödsinn ist. Ich probiere mal weiter, wäre aber dankbar für einen Wink mit dem Zaunpfahl...

ermanus aktiv_icon

15:21 Uhr, 15.10.2019

Warum sollte aufgrund der Gruppeneigenschaften zu jedem

x

ein

s \in S

mit

x = s \cdot s

existieren? Zwar wissen wir ja nun, dass

< S > = G

ist, aber das heißt doch zunächst nur, dass es
gewisse endlich viele

s_{1}, \dots, s_{r} \in S

gibt
mit

x = s_{1}^{\pm 1} s_{2}^{\pm 1} \dots s_{r}^{\pm 1}

.
Betrachte doch stattdessen mal zu

x \in G

die Abbildung

f_{x} : S \to M_{x} := {x s^{- 1} ∣ s \in S}, s \mapsto x s^{- 1}

. Zeige, dass diese
Abbildung bijektiv ist. Dann weißt du für jedes

x \in G

,
dass

# S = # M_{x}

ist.
Soweit erstmal, deine Überlegungen zu

< S > = G

sind,
so denke ich, OK.
Gruß ermanus

Fliege aktiv_icon

17:14 Uhr, 15.10.2019

Habe wieder drüber nachgedacht; hoffe, ich habe dich nicht völlig missverstanden:

Die Injektivität würde ich jetzt so zeigen:

s_{1}

s_{2}

\in S

; x

\in G

fest
Dann: f(

s_{1}

) = f(

s_{2}

)
<=> x*

s_{1}^{- 1}

= x*

s_{2}^{- 1}

| multipliziere von links mit

x^{- 1}

<=>

x^{- 1}

*x*

s_{1}^{- 1}

x^{- 1}

*x*

s_{2}^{- 1}

<=>

s_{1}^{- 1}

s_{2}^{- 1}

=> Die Funktion ist injektiv.

Bei der Surjektivität bin ich mir unsicher:
S enthält ja alle s. Und Mx enthält alle

s^{- 1}

, multipliziert mit einem festen x, da es (weil G eine Gruppe ist) zu jedem s ein

s^{- 1}

gibt, muss #Mx = #S sein. Da f S nach Mx abbildet und injektiv ist, muss f auch surjektiv sein.

Kann ich dann schlussfolgern: "Weil f bijektiv ist, gibt es für jedes x

\in G

s mit s = x*

s^{- 1}

. D.h. zu jedem x gibt es s mit x = s*s. Damit ließe sich jedes Element aus G als Produkt zweier Elemente aus S darstellen."? Oder stimmt das nicht? Weil dann hab ich ja nirgends benutzt, dass #M = #S ist...

ermanus aktiv_icon

17:24 Uhr, 15.10.2019

Über die Surjektivität musst du dir keine Gedanken machen;
denn

M_{x}

ist ja geradezu als die Menge aller Bilder von

f_{x}

definiert. Nun geht die Argumentation aber ganz anders weiter, als
du denkst:
Angenommen

S \cap M_{x}

wäre die leere Menge, dann wäre, da

S \cup M_{x} \subseteq G

, folgendes der Fall:

# G \geq # (S \cup M_{x}) = # S + # M_{x} = 2 \cdot S > 2 \cdot (1 / 2) \cdot # G = # G

,
was ja in den Worten von Bourbaki "absurd" ist.
Also ist für jedes

x \in G

die Menge

S \cap M_{x} \neq \emptyset

.
Nun nimm dir ein Element aus diesem Durchschnitt und mach was damit ;-)

Fliege aktiv_icon

20:03 Uhr, 15.10.2019

Ok, vielen Dank für die Geduld und Mühe. Ich guck mir mal das x an :-).

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