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Gruppentafel D4
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 16:13 Uhr, 26.12.2006  |
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Hallo, ich soll die Gruppentafel der Diedergruppe D4 bestimmen...kann mir jedemand sagen, wie ich das am besten mache?... ich hatte mir immer vierecke aufgemalt und geguckt wie sind die eckpunkte verändern, aber irgendwie komme ich glaube ich auf das falsche ergebnis. danke mfg julia |
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Lächerlich: Gruppentafel D3 (--> Bsp.1.1) UND nur also Idee, wie eine Gruppentafel aussieht... [2] aus [1]. Wir werden ernsthaft: D4 geometrisch... [3]. - Enthält die 8 Elemente von D4. Und wir werden sie i.w. verwenden... Erste Beobachtung aus [3]: D4 besteht also aus 4 Drehungen d0, d90, d180, d270 (gegen den Uhrzeiger); 4 Spiegelungen, davon 2 an einer Mittelsenkrechten Sm1, Sm2 und 2 an einer Diagonalen Sd1, Sd2. Ein Eintrag der Gruppentafel... . | .. x ... --------------- y | .. z ... ...bedeute also x°y = z , d.h. (von links) erst x machen, dann y und Ergebnis ist z. Also wie in einem Koordinatensystem z= P(x | y). Die Kopfzeile und (linke) Randspalte sind durch die Elemente bekannt... d0, d90, d180, d270, Sm1, Sm2, Sd1, Sd2, das wären also die Kandidaten für x bzw. y. - Da das Ergebnis z sich in den geometrischen Elementen [3] wiederfindet, füllt sich die Tafel für viele Verknüpfungen recht schnell. Bsp.: x=d90 ; y=d90 => x°y = z = d180 x= d180; y=d180 => x°y = z = d0 =e (neutr.Element) x=Sd1 ; y=Sd1 => x°y = z = e ... Sd2 genauso(!) x=Sm1 ; y=Sm1 => x°y = z = e ... Sm2 genauso(!) x=Sm1 ; y=d90 => x°y = z = Sd2 , weil: | Sm1 ~ [BADC] ... dh. geometrisch: AB vertauscht und CD vertauscht | d90 ...lässt jeden Buchstaben um 1 Stelle weiter n. re. rutschen, | d.h.: Sm1°d90 ~ [CBAD] ~ Sd2 x=Sm1 ; y=Sd2 => x°y = z = d90 , weil: | Sm1 ~ [BADC] ... (s.o.) | Sd2 ...lässt 2-te + 4-te fest [.A.C] und vertauscht 1-3 [D.B.] | Ergebnis z ~ [DABC] findet man wieder als d90 Die restlichen sind ein Kinderspiel. - Ich bin wirklich der Meinung, so eine Gruppentafel sollte man einmal selber aufgebaut haben (deshalb auch keine kopierfähige Lösung). -Steele- ______________________ [1] www.ph-heidelberg.de/wp/filler/lv2006ws07/algebra2/algebra2.html [2] www.ph-karlsruhe.de/wp/stellfeld/Arith_II_Kap1.doc [3] www.ph-heidelberg.de/wp/filler/lv2006ws07/algebra2/Diedergruppe-D4.pdf |
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