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Gruppentafel erstellen
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Gruppentafel
 
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Hallo, in meinen LA Unterlagen von diesem Semster habe ich ein paar gruppentafeln gefunden, nur leider keinen Hinweis, wie man so was erstellt. Schematisch müssen in jeder Zeile und Spalte alle Elemente der Gruppe vorkommen. Ich möchte die Tafeln mit Variablen ausfüllen.
a ist dann das neutrale Element
Im Tutorium haben wir dann gesagt; b+b=a oder b+b=b aber wie man das überprüft weiß ich nicht mehr, weil ich es auch nicht verstanden habe.
Wer kann mir einen Tipp geben, wie ich mathematisch an die Lösungen komme?? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Die Vorgehensweise folgt eigentlich mit Logik. In einer Gruppe gilt: - Assoziativität - Es gibt ein neutrales Element - zu jedem Element gibt es ein Iverses Wenn wir die erste noch nciht ganz ausgefüllte Tabelle betrachten. offenbar ist a neutrales Element, wir benötigen ein Inverses zu das ist nicht a bleibt noch also muss das neutrale Element ergeben, entsprechend Nach deine Aussage "In jeder Zeile / Spalte usw." wäre das auch sofort klar gewesen. In der zweiten Tabelle ist auch sofort klar welches das neutrale Element ist, überlege nun wo es nur Sinn machen kann in der b-Zeile das a und zu platzieren. Bspw. wäre dann wäre neutrales Element... |
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Danke! Ok, dann werd ich mich mal dran versuchen... |
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Bei dieser Tabelle;
bin ich folgendermaßen vorgegangen. b+b=a oder b+b=b b+b=b???: dann muss eines der zwei b's das neutrale Element a sein--> b+a=b, aber dann wäre a+b=a, deshalb kann b+b=b nicht sein. b+b=a???: Wenn b+b das neutrale Element a ergibt, dann muss eines der zwei b's das Inverse zu b sein, dass b+b=a gilt. Hier verwirrt mich aber etwas und zwar wenn eines der 2 b's ein Inverses zu b ist, dann ist auch das andere b das gleiche Inverse, da b=b und Inverses + Inverses = neutrales Element -3 ist das Inverse zu 3 also muss -3+(-3)=0 sein. Ist es aber nicht, denn -3+(-3)=-3-3=-6. Und wenn das inverse b nun (-b) ist, dann ist (-b)+(-b) = -b-b= -2b. Und genau das macht einen echt wahnsinnig im Kopf. Hier muss noch irgend was gemacht werden.... NUR WAS ??? |
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Diese Gruppentabelle ist doch seeehr allgemein, du weißt doch recht wenig über die Struktur. Wenn das Inverse zu sich selbst ist, dann ist dem eben so. Du stützt die Verknüpfung auf die dir bekannte Addition, bspw auf den reelen Zahlen, hier gilt natürlich nicht außer bei Es gibt aber durchaus Strukturen bei denen es so sein kann. Ein Beispiel: Wir wählen eine Menge fest und betrachten die Teilmengen von und benutzen die symmetrische Differenz als Verknüpfung. dann ist eine Gruppe, genauer sogar eine abelsche Gruppe. Für ist die symmetrische Differenz wie folgt definiert: Wie man leicht sieht ist jede Teilmenge zu sich selbst invers, bspw. ist und die leere Menge ist tatsächlich neutrales Element In welchen Mengen du dich befindest und ob die Addition die dir bekannte Addition ist, wer weiß... Das erschließt sich nciht unmittelbar, tatsächlich wenn man so rangeht wie ich, dann wird einem bewusst das dem wohl nicht so ist. |
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Vielleicht noch was, ersetze " " durch In diesem fall ist die Verknüpfung auch nicht intuitiv klar. Salopp ausgedrückt, es ist einfach irgendeine Verknüpfung |
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Also muss ich die Gruppentafel als eine Welt für sich betrachten, in der die Gesetze der Gruppe gelten. Dann kann ich auch nicht von der 2x2 Gruppentafel auf die 3x3 Gruppentafel schließen, von der 3x3 Gruppentafel auf die 4x4,..., oder doch? |
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Meinst du, wenn in der ersten (nicht ausgefüllten) Tabelle gilt ob dann auch in der letzten Tabelle gilt? Das kannst du natürlich nicht tun, die können ja vor allem immer anders aussehen. Wäre dort dann müsste gelten, das heißt aber, dass sowohl a als auch neutrale Elemente sind. Und das ist nicht möglich. |
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Aha, dann sind die Tafeln "alles kleine Welten" für sich, losgelößt von den anderen Tafeln. Das hilft mir doch schon sehr weiter. Ich poste gleich die 3x3 tafel.... |
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Habe die 3x3 Gruppentafel hochgeladen, ich kann aber nicht erklären, wie ich auf c o c = b komme. Ich habe mich entschieden, dass c das Inverse zu b ist also c o b = b o c = a. Nun muss c o c = b sein. d.h. das (Inverse o Inverse = b). Mir ist klar, das a o a = a, c o a = c, b o a = b, b o b = c Nur c o c = b wird mir logisch nicht klar???  |
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Nachdem du gesehen hast, dass nur und sein kann, könntest du schon wegen den Spalten aufüllen, denn du hast ja gesagt in jeder Zeile/Spalte muss jedes Element einmal vorkommen. Nun aber macht auch keinen Sinn denn dann wäre ja wieder neutralen Element also muss hier ein a hinkommen, es bleibt noch für übrig. Das und ist, das ist eben so; ergibt so aus der Struktur, weil es keine andere Möglichkeit der Belegung gibt. |
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Unser Doktorrant hatte uns gezeigt, dass man diese "Gleichungen" auch durch Erweiterung links und rechts mit dem Inversen berechnen kann. Nur ich weiß nicht mehr, wie das geht. Kannst Du das vielleich?? |
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Nein tut mir leid, nicht so wirklich. Dazu benötigt man doch erst ein paar Infos?! Wenn man weiß, dass dann: da addiere und dann erhalten wir: also ist da wir ja wissen, dass a neutrales Element ist. Aber irgendwie wäre das auch so klar gewesen. Aber völlig ohne Logik wussten wir ja noch nicht, dass gilt... |
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Er hatte damals links und rechts das Inverse "multipliziert", das war aber wohl eine größere Tafel. Na gut, dann vielen Dank an Dich! |
